Exercice 62

Exercice : Simplifie, si possible, chaque produit avant d’effectuer les multiplications :

\(\frac{6}{5} \times \frac{15}{8} =\)
\(\frac{4}{3} \times \frac{9}{7} =\)
\(30 \times \frac{4}{5} =\)
\(\frac{9}{16} \times \frac{8}{3} =\)
\(\frac{12}{19} \times 1,9 =\)
\(-\frac{14}{9} \times \frac{27}{7} =\)
\(-\frac{3}{8} \times \frac{16}{5} =\)
\(-\frac{5}{6} \times \frac{-6}{13} =\)
\(2,25 \times \frac{2}{5} =\)

Réponse

Réponses :

9/4
12/7
24
3/2
6/5
–6
–6/5
5/13
9/10

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

a) \(\frac{6}{5} \times \frac{15}{8}\)

On écrit le produit sous la forme d’une multiplication de numérateurs et de dénominateurs : \[ \frac{6 \times 15}{5 \times 8} \]
On cherche des facteurs communs pour simplifier les fractions. Par exemple, \(15\) et \(5\) ont un facteur commun : \[ \frac{6 \times \underline{15}}{\underline{5} \times 8} = \frac{6 \times 3}{1 \times 8} = \frac{18}{8} \]
On simplifie \(\frac{18}{8}\) en divisant numérateur et dénominateur par le même nombre, ici 2 : \[ \frac{18 \div 2}{8 \div 2} = \frac{9}{4} \]

Réponse a) : \(\frac{9}{4}\)

b) \(\frac{4}{3} \times \frac{9}{7}\)

On écrit le produit : \[ \frac{4 \times 9}{3 \times 7} = \frac{36}{21} \]
On cherche des facteurs communs pour simplifier la fraction \(\frac{36}{21}\). On remarque que 36 et 21 sont divisibles par 3 : \[ \frac{36 \div 3}{21 \div 3} = \frac{12}{7} \]

Réponse b) : \(\frac{12}{7}\)

c) \(30 \times \frac{4}{5}\)

On écrit 30 sous forme de fraction pour faciliter la multiplication : \[ 30 = \frac{30}{1} \]
Le produit devient : \[ \frac{30 \times 4}{1 \times 5} = \frac{120}{5} \]
En effectuant la division : \[ \frac{120}{5} = 24 \]

Réponse c) : \(24\)

d) \(\frac{9}{16} \times \frac{8}{3}\)

On écrit le produit : \[ \frac{9 \times 8}{16 \times 3} = \frac{72}{48} \]
On simplifie en cherchant un diviseur commun. Ici, 72 et 48 se divisent par 24 : \[ \frac{72 \div 24}{48 \div 24} = \frac{3}{2} \]

Réponse d) : \(\frac{3}{2}\)

e) \(\frac{12}{19} \times 1,9\)

On transforme le nombre décimal en fraction. On sait que \(1,9 = \frac{19}{10}\).
Le produit devient : \[ \frac{12}{19} \times \frac{19}{10} \]
On simplifie en annulant le \(19\) présent en numérateur et en dénominateur : \[ \frac{12 \times \cancel{19}}{\cancel{19} \times 10} = \frac{12}{10} \]
On simplifie \(\frac{12}{10}\) en divisant par 2 : \[ \frac{12 \div 2}{10 \div 2} = \frac{6}{5} \]

Réponse e) : \(\frac{6}{5}\)

f) \(-\frac{14}{9} \times \frac{27}{7}\)

On écrit le produit : \[ \frac{-14 \times 27}{9 \times 7} \]
On recherche des simplifications :
- \(14\) et \(7\) : \(14 \div 7 = 2\)
- \(27\) et \(9\) : \(27 \div 9 = 3\)
Après simplification, le produit devient : \[ -\frac{2 \times 3}{1 \times 1} = -6 \]

Réponse f) : \(-6\)

g) \(-\frac{3}{8} \times \frac{16}{5}\)

On écrit le produit : \[ \frac{-3 \times 16}{8 \times 5} = \frac{-48}{40} \]
On simplifie cette fraction. On constate que 48 et 40 sont divisibles par 8 : \[ \frac{-48 \div 8}{40 \div 8} = \frac{-6}{5} \]

Réponse g) : \(-\frac{6}{5}\)

h) \(-\frac{5}{6} \times \frac{-6}{13}\)

On écrit le produit : \[ \frac{(-5) \times (-6)}{6 \times 13} \]
Le produit de deux nombres négatifs est positif. On obtient donc : \[ \frac{30}{78} \]
Pour simplifier, on remarque que 30 et 78 sont divisibles par 6 : \[ \frac{30 \div 6}{78 \div 6} = \frac{5}{13} \]

Réponse h) : \(\frac{5}{13}\)

i) \(2,25 \times \frac{2}{5}\)

On convertit \(2,25\) en fraction. On remarque que : \[ 2,25 = \frac{225}{100} \quad \text{et en simplifiant, } \frac{225 \div 25}{100 \div 25} = \frac{9}{4} \]
Le produit devient : \[ \frac{9}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{9 \times 2}{4 \times 5} = \frac{18}{20} \]
On simplifie \(\frac{18}{20}\) en divisant par 2 : \[ \frac{18 \div 2}{20 \div 2} = \frac{9}{10} \]

Réponse i) : \(\frac{9}{10}\)

Chaque étape a permis de simplifier les produits en annulant les facteurs communs avant d’effectuer les multiplications, ce qui facilite grandement le calcul.