Calculer les produits suivants : a) \(\frac{2}{9} \cdot \frac{4}{12}\) b) \(\frac{9}{25} \cdot \frac{5}{14}\) c) \(\frac{18}{27} \cdot \frac{21}{35}\) d) \(\frac{80}{40} \cdot \frac{30}{120}\)
Réponses : a) 2/27
b) 9/70
c) 2/5
d) 1/2
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Multiplication des numérateurs et des dénominateurs
\[ \frac{2}{9} \cdot \frac{4}{12} = \frac{2 \times 4}{9 \times 12} = \frac{8}{108} \]
Simplification de la fraction
On cherche un diviseur commun à 8 et 108. On peut remarquer que 4 divise les deux nombres :
\[ \frac{8 \div 4}{108 \div 4} = \frac{2}{27} \]
Réponse a) : \(\displaystyle \frac{2}{27}\)
Multiplication des numérateurs et des dénominateurs
\[ \frac{9}{25} \cdot \frac{5}{14} = \frac{9 \times 5}{25 \times 14} = \frac{45}{350} \]
Simplification de la fraction
On remarque que 5 est un diviseur commun :
\[ \frac{45 \div 5}{350 \div 5} = \frac{9}{70} \]
Réponse b) : \(\displaystyle \frac{9}{70}\)
Simplification préalable des fractions
Pour \(\frac{18}{27}\) :
Divisons le numérateur et le dénominateur par 9 :
\[ \frac{18 \div 9}{27 \div 9} = \frac{2}{3} \]
Pour \(\frac{21}{35}\) :
Divisons le numérateur et le dénominateur par 7 :
\[ \frac{21 \div 7}{35 \div 7} = \frac{3}{5} \]
Multiplication des fractions simplifiées
\[ \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \times 3}{3 \times 5} \]
On constate que le 3 se simplifie :
\[ \frac{2 \times \cancel{3}}{\cancel{3} \times 5} = \frac{2}{5} \]
Réponse c) : \(\displaystyle \frac{2}{5}\)
Simplification préalable des fractions
Pour \(\frac{80}{40}\) :
\[ \frac{80}{40} = 2 \]
Pour \(\frac{30}{120}\) :
Divisons le numérateur et le dénominateur par 30 :
\[ \frac{30 \div 30}{120 \div 30} = \frac{1}{4} \]
Multiplication
\[ 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} \]
Simplification finale
\[ \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
Réponse d) : \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
Ainsi, les réponses aux produits sont :