Complétez les opérations suivantes :
\(\frac{4}{3} \cdot \frac{\square}{3} = \frac{28}{\square}\)
\(\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\square}{18}\)
\(\frac{2}{5} \cdot 15 = 6\)
\(\frac{4}{7} \cdot \square = \frac{12}{7}\)
Voici la correction détaillée de chaque opération :
\[ \frac{4}{3} \cdot \frac{\square}{3} = \frac{28}{\square} \]
Étape 1 : Choix des inconnues
On remarque qu’il y a deux cases à compléter. Pour clarifier, notons : -
\(a\) pour le nombre manquant dans le
numérateur du deuxième facteur (à gauche), - \(b\) pour le nombre manquant dans le
dénominateur de la fraction de droite.
L’opération devient : \[ \frac{4}{3} \cdot \frac{a}{3} = \frac{28}{b} \]
Étape 2 : Réaliser la multiplication
Multiplier les fractions (multiplication des numérateurs et des
dénominateurs) : \[
\frac{4 \times a}{3 \times 3} = \frac{4a}{9}
\] L’équation s’écrit donc : \[
\frac{4a}{9} = \frac{28}{b}
\]
Étape 3 : Choisir des valeurs simples
On peut faire en sorte que le numérateur de la fraction de gauche soit
égal à 28 :
Si on pose \[
4a = 28 \quad \Longrightarrow \quad a = \frac{28}{4} = 7,
\] alors la fraction devient : \[
\frac{28}{9}.
\] Pour que l’égalité soit vérifiée, il faut donc que : \[
\frac{28}{9} = \frac{28}{b} \quad \Longrightarrow \quad b = 9.
\]
Conclusion pour a)
Les cases complétées donnent : \[
\frac{4}{3} \cdot \frac{7}{3} = \frac{28}{9}.
\]
\[ \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\square}{18} \]
Étape 1 : Effectuer la multiplication
Multiplions directement les numérateurs et les dénominateurs : \[
\frac{5 \times 2}{3 \times 3} = \frac{10}{9}.
\]
Étape 2 : Comparer avec la fraction donnée
On doit avoir : \[
\frac{10}{9} = \frac{x}{18},
\] où \(x\) est le nombre à
trouver.
Étape 3 : Calcul de \(x\)
Pour trouver \(x\), on peut égaler les
produits en croix : \[
10 \times 18 = 9 \times x.
\] Cela donne : \[
180 = 9x \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{180}{9} = 20.
\]
Conclusion pour b)
La case complétée est donc : \[
\frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{20}{18}.
\]
\[ \frac{2}{5} \cdot 15 = 6 \]
Étape 1 : Vérification de l’opération
On peut transformer 15 en fraction pour simplifier le calcul : \[
\frac{2}{5} \cdot 15 = \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{1}.
\]
Étape 2 : Multiplication
Multiplions les numérateurs et les dénominateurs : \[
\frac{2 \times 15}{5 \times 1} = \frac{30}{5} = 6.
\]
Conclusion pour c)
L’égalité est vraie, aucune case à compléter puisqu’elle est déjà
correctement écrite : \[
\frac{2}{5} \cdot 15 = 6.
\]
\[ \frac{4}{7} \cdot \square = \frac{12}{7} \]
Étape 1 : Définir l’inconnue
Notons \(x\) le nombre manquant : \[
\frac{4}{7} \cdot x = \frac{12}{7}.
\]
Étape 2 : Isoler \(x\)
Pour trouver \(x\), on peut se
débarrasser du dénominateur commun 7. On multiplie chaque côté de
l’égalité par 7 : \[
4 \cdot x = 12.
\] Puis, on divise par 4 : \[
x = \frac{12}{4} = 3.
\]
Conclusion pour d)
La case complétée est : \[
\frac{4}{7} \cdot 3 = \frac{12}{7}.
\]
a) \(\dfrac{4}{3}
\cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{9}\)
(Les cases complétées sont 7 et 9.)
b) \(\dfrac{5}{3}
\cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{20}{18}\)
(La case complétée est 20.)
c) \(\dfrac{2}{5}
\cdot 15 = 6\)
(L’opération est vérifiée.)
d) \(\dfrac{4}{7}
\cdot 3 = \dfrac{12}{7}\)
(La case complétée est 3.)
Cette démarche permet de comprendre comment compléter chaque opération en effectuant des multiplications de fractions et en résolvant des égalités simples.