Exercice 59

Exercice :

Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme de fraction irréductible.

1. \(\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{3} =\)

2. \(\frac{9}{11} \cdot \frac{4}{7} =\)

3. \(\frac{2}{9} \cdot \frac{7}{5} =\)

4. \(\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{6} =\)

5. \(\frac{3}{8} \cdot \frac{6}{7} =\)

6. \(12 \cdot \frac{1}{12} =\)

7. \(3 \cdot \frac{4}{5} =\)

8. \(\frac{7}{15} \cdot 1,\overline{6} =\)

9. \(\frac{9}{10} \cdot 0,8 =\)

10. \(\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{30} =\)

Réponse

Voici la réponse synthétisée :

1. 5/12
   
2. 36/77
   
3. 14/45
   
4. 10/9
   
5. 9/28
   
6. 1
   
7. 12/5
   
8. 7/9
   
9. 18/25
   
10. 1/3

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de chaque expression proposée :

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a) \(\frac{5}{8} \cdot \frac{2}{3}\)

1. Étape de multiplication :
   Multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :
   \[ \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5\times 2}{8\times 3} = \frac{10}{24}. \]
2. Réduction de la fraction :
   Le numérateur 10 et le dénominateur 24 ont pour facteur commun 2.
   \[ \frac{10}{24} = \frac{10\div 2}{24\div 2} = \frac{5}{12}. \]

Donc, le résultat est :
\[ \frac{5}{12}. \]

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b) \(\frac{9}{11} \cdot \frac{4}{7}\)

1. Multiplication :
   \[ \frac{9}{11} \cdot \frac{4}{7} = \frac{9\times 4}{11\times 7} = \frac{36}{77}. \]
2. Vérification de la réduction :
   La fraction \(\frac{36}{77}\) ne peut être simplifiée davantage car 36 et 77 n’ont pas de facteur commun autre que 1.

Le résultat est donc :
\[ \frac{36}{77}. \]

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c) \(\frac{2}{9} \cdot \frac{7}{5}\)

1. Multiplication des fractions :
   \[ \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2\times 7}{9\times 5} = \frac{14}{45}. \]
2. Simplification :
   Les nombres 14 (qui se décompose en \(2\times 7\)) et 45 (qui se décompose en \(3^2 \times 5\)) n’ont aucun facteur commun.

Le résultat final est :
\[ \frac{14}{45}. \]

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d) \(\frac{4}{3} \cdot \frac{5}{6}\)

1. Multiplication :
   \[ \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{4\times 5}{3\times 6} = \frac{20}{18}. \]
2. Simplification :
   On divise le numérateur et le dénominateur par 2 :
   \[ \frac{20}{18} = \frac{20\div 2}{18\div 2} = \frac{10}{9}. \]

Le résultat obtenu est :
\[ \frac{10}{9}. \]

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e) \(\frac{3}{8} \cdot \frac{6}{7}\)

1. Multiplication :
   \[ \frac{3}{8} \cdot \frac{6}{7} = \frac{3 \times 6}{8 \times 7} = \frac{18}{56}. \]
2. Réduction :
   Divisons le numérateur et le dénominateur par 2 :
   \[ \frac{18}{56} = \frac{18\div 2}{56\div 2} = \frac{9}{28}. \]

Donc, le résultat est :
\[ \frac{9}{28}. \]

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f) \(12 \cdot \frac{1}{12}\)

1. Multiplication simple :
   \(12\) peut être vu comme \(\frac{12}{1}\).
   \[ 12 \cdot \frac{1}{12} = \frac{12}{1} \cdot \frac{1}{12} = \frac{12\times 1}{1\times 12} = \frac{12}{12}. \]
2. Simplification :
   \(\frac{12}{12} = 1\).

Le résultat est donc :
\[ 1. \]

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g) \(3 \cdot \frac{4}{5}\)

1. Multiplication :
   Écrivons \(3\) sous forme de fraction \(\frac{3}{1}\) :
   \[ 3 \cdot \frac{4}{5} = \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{5} = \frac{3\times 4}{1\times 5} = \frac{12}{5}. \]

La fraction \(\frac{12}{5}\) est déjà irréductible.

Donc, le résultat est :
\[ \frac{12}{5}. \]

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h) \(\frac{7}{15} \cdot 1,\overline{6}\)

1. Conversion du nombre décimal en fraction :
   Le nombre \(1,\overline{6}\) est un nombre décimal répété. On le convertit en fraction.
   Soit \(x = 1,\overline{6}\).
   Multiplions par 10 :
   \[ 10x = 16,\overline{6}. \] Soustrayons \(x\) de \(10x\) :
   \[ 10x - x = 16,\overline{6} - 1,\overline{6} \quad \Longrightarrow \quad 9x = 15. \] D’où
   \[ x = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}. \]
2. Multiplication des fractions :
   \[ \frac{7}{15} \cdot 1,\overline{6} = \frac{7}{15} \cdot \frac{5}{3} = \frac{7\times 5}{15\times 3} = \frac{35}{45}. \]
3. Simplification :
   Divisons numérateur et dénominateur par 5 :
   \[ \frac{35}{45} = \frac{35\div 5}{45\div 5} = \frac{7}{9}. \]

Le résultat est ainsi :
\[ \frac{7}{9}. \]

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i) \(\frac{9}{10} \cdot 0,8\)

1. Conversion du nombre décimal en fraction :
   \(0,8 = \frac{8}{10}\).
   
2. Multiplication :
   \[ \frac{9}{10} \cdot \frac{8}{10} = \frac{9\times 8}{10\times 10} = \frac{72}{100}. \]
3. Simplification :
   Divisons le numérateur et le dénominateur par 4 :
   \[ \frac{72}{100} = \frac{72\div 4}{100\div 4} = \frac{18}{25}. \]

Le résultat final est :
\[ \frac{18}{25}. \]

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j) \(\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{30}\)

1. Multiplication :
   \[ \frac{10}{3} \cdot \frac{3}{30} = \frac{10\times 3}{3\times 30} = \frac{30}{90}. \]
2. Simplification :
   On divise numérateur et dénominateur par 30 :
   \[ \frac{30}{90} = \frac{30\div 30}{90\div 30} = \frac{1}{3}. \]

Le résultat est donc :
\[ \frac{1}{3}. \]

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En résumé, voici les résultats obtenus sous forme de fractions irréductibles :

1. \(\frac{5}{12}\)
   
2. \(\frac{36}{77}\)
   
3. \(\frac{14}{45}\)
   
4. \(\frac{10}{9}\)
   
5. \(\frac{9}{28}\)
   
6. \(1\)
   
7. \(\frac{12}{5}\)
   
8. \(\frac{7}{9}\)
   
9. \(\frac{18}{25}\)
   
10. \(\frac{1}{3}\)