Exercice 58

Exercice

  1. Complétez les tableaux suivants.

    1. Remplissez le tableau suivant en indiquant, dans chaque case, le produit sous forme décimale.

    \[ \begin{array}{c|ccccc} \cdot & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 \\ \hline 0,2 & & & & & \\ 0,3 & & & & & \\ 0,4 & & & & & \\ 0,5 & & & & & \\ 0,6 & & & & & \end{array} \]

    1. Remplissez ensuite le tableau suivant en indiquant, dans chaque case, le produit sous forme fractionnaire.

    \[ \begin{array}{c|ccccc} \cdot & \frac{1}{5} & \frac{3}{10} & \frac{2}{5} & \frac{1}{2} & \frac{3}{5} \\ \hline \frac{1}{5} & & & & & \\ \frac{3}{10} & & & & & \\ \frac{2}{5} & & & & & \\ \frac{1}{2} & & & & & \\ \frac{3}{5} & & & & & \end{array} \]

  2. Complétez le tableau suivant en choisissant l’écriture (décimale ou fractionnaire) qui vous convient le mieux pour représenter les nombres.

    \[ \begin{array}{c|cccccc} \cdot & 0,4 & 0,625 & 0,8 & 1,1 & \frac{5}{4} & 1,8 \\ \hline 0,25 & & & & & & \\ 0,5 & & & & & & \\ 0,75 & & & & & & \\ 1,2 & & & & & & \\ \frac{7}{5} & & & & & & \\ \frac{4}{3} & & & & & & \\ 1,75 & & & & & & \end{array} \]

Réponse

Tous les produits ont été obtenus en multipliant le nombre de la ligne par celui de la colonne en appliquant la distributivité. Par exemple, dans le tableau décimal, 0,2×0,3=0,06, et dans le tableau fractionnaire, (1/5)×(3/10)=3/50. Pour le tableau au choix d’écriture, on a converti certains nombres en fractions pour simplifier les calculs (par exemple 0,25×0,4=1/10), obtenant ainsi des résultats sous forme élégante.

Corrigé détaillé

Nous allons compléter chacun des tableaux en détaillant les calculs étape par étape. Dans cet exercice, nous utilisons la propriété « distributive » de la multiplication (ici, la commutativité et l’association) qui nous permet de multiplier chaque nombre par l’autre. Nous allons commencer par le premier tableau, puis passer au second, et enfin au tableau à choix d’écriture.

1. Tableaux de multiplications

1.a) Calculer le produit décimal

On nous donne le tableau suivant avec des nombres décimaux :

\[ \begin{array}{c|ccccc} \cdot & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 \\ \hline 0,2 & & & & & \\ 0,3 & & & & & \\ 0,4 & & & & & \\ 0,5 & & & & & \\ 0,6 & & & & & \end{array} \]

Pour chaque case, on multiplie la valeur de la ligne par celle de la colonne.

Ligne 1 (0,2) :

Ligne 2 (0,3) :

Ligne 3 (0,4) :

Ligne 4 (0,5) :

Ligne 5 (0,6) :

Le tableau complété devient :

\[ \begin{array}{c|ccccc} \cdot & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,5 & 0,6 \\ \hline 0,2 & 0,04 & 0,06 & 0,08 & 0,10 & 0,12 \\ 0,3 & 0,06 & 0,09 & 0,12 & 0,15 & 0,18 \\ 0,4 & 0,08 & 0,12 & 0,16 & 0,20 & 0,24 \\ 0,5 & 0,10 & 0,15 & 0,20 & 0,25 & 0,30 \\ 0,6 & 0,12 & 0,18 & 0,24 & 0,30 & 0,36 \end{array} \]

1.b) Calculer le produit fractionnaire

Le deuxième tableau utilise des fractions :

\[ \begin{array}{c|ccccc} \cdot & \dfrac{1}{5} & \dfrac{3}{10} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{5} \\ \hline \dfrac{1}{5} & & & & & \\ \dfrac{3}{10} & & & & & \\ \dfrac{2}{5} & & & & & \\ \dfrac{1}{2} & & & & & \\ \dfrac{3}{5} & & & & & \end{array} \]

Pour remplir chaque case, nous multiplions les fractions et simplifions si possible.

Ligne 1 \(\left(\frac{1}{5}\right)\) :

Ligne 2 \(\left(\frac{3}{10}\right)\) :

Ligne 3 \(\left(\frac{2}{5}\right)\) :

Ligne 4 \(\left(\frac{1}{2}\right)\) :

Ligne 5 \(\left(\frac{3}{5}\right)\) :

Le tableau complété devient :

\[ \begin{array}{c|ccccc} \cdot & \dfrac{1}{5} & \dfrac{3}{10} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{5} \\ \hline \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{25} & \dfrac{3}{50} & \dfrac{2}{25} & \dfrac{1}{10} & \dfrac{3}{25} \\ \dfrac{3}{10} & \dfrac{3}{50} & \dfrac{9}{100} & \dfrac{3}{25} & \dfrac{3}{20} & \dfrac{9}{50} \\ \dfrac{2}{5} & \dfrac{2}{25} & \dfrac{3}{25} & \dfrac{4}{25} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{6}{25} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{10} & \dfrac{3}{20} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{4} & \dfrac{3}{10} \\ \dfrac{3}{5} & \dfrac{3}{25} & \dfrac{9}{50} & \dfrac{6}{25} & \dfrac{3}{10} & \dfrac{9}{25} \end{array} \]

2. Tableau avec choix d’écriture (décimale ou fractionnaire)

Nous devons maintenant compléter le tableau suivant en choisissant l’écriture qui nous convient le mieux. Les données du tableau sont :

\[ \begin{array}{c|cccccc} \cdot & 0,4 & 0,625 & 0,8 & 1,1 & \dfrac{5}{4} & 1,8 \\ \hline 0,25 & & & & & & \\ 0,5 & & & & & & \\ 0,75 & & & & & & \\ 1,2 & & & & & & \\ \dfrac{7}{5} & & & & & & \\ \dfrac{4}{3} & & & & & & \\ 1,75 & & & & & & \end{array} \]

Pour faciliter les calculs, nous exprimons certains nombres en fraction si cela simplifie la multiplication :

Nous allons compléter chaque ligne :

Ligne 1 : \(0,25 = \dfrac{1}{4}\)

  1. \(0,25 \times 0,4 = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}\)

  2. \(0,25 \times 0,625 = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{32}\)

  3. \(0,25 \times 0,8 = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\)

  4. \(0,25 \times 1,1 = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{11}{10} = \dfrac{11}{40}\)

  5. \(0,25 \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{16}\)

  6. \(0,25 \times 1,8 = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{9}{20}\)

Ligne 2 : \(0,5 = \dfrac{1}{2}\)

  1. \(0,5 \times 0,4 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\)

  2. \(0,5 \times 0,625 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{16}\)

  3. \(0,5 \times 0,8 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)

  4. \(0,5 \times 1,1 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{11}{10} = \dfrac{11}{20}\)

  5. \(0,5 \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{5}{8}\)

  6. \(0,5 \times 1,8 = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{9}{10}\)

Ligne 3 : \(0,75 = \dfrac{3}{4}\)

  1. \(0,75 \times 0,4 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}\)

  2. \(0,75 \times 0,625 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{15}{32}\)

  3. \(0,75 \times 0,8 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}\)

  4. \(0,75 \times 1,1 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{11}{10} = \dfrac{33}{40}\)

  5. \(0,75 \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{16}\)

  6. \(0,75 \times 1,8 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{27}{20}\)

Ligne 4 : \(1,2 = \dfrac{6}{5}\)

  1. \(1,2 \times 0,4 = \dfrac{6}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{25}\)

  2. \(1,2 \times 0,625 = \dfrac{6}{5} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4}\)

  3. \(1,2 \times 0,8 = \dfrac{6}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}\)

  4. \(1,2 \times 1,1 = \dfrac{6}{5} \times \dfrac{11}{10} = \dfrac{66}{50} = \dfrac{33}{25}\)

  5. \(1,2 \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{6}{5} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{30}{20} = \dfrac{3}{2}\)

  6. \(1,2 \times 1,8 = \dfrac{6}{5} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{54}{25}\)

Ligne 5 : \(\dfrac{7}{5}\)

  1. \(\dfrac{7}{5} \times 0,4 = \dfrac{7}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{25}\)

  2. \(\dfrac{7}{5} \times 0,625 = \dfrac{7}{5} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{35}{40} = \dfrac{7}{8}\)

  3. \(\dfrac{7}{5} \times 0,8 = \dfrac{7}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{28}{25}\)

  4. \(\dfrac{7}{5} \times 1,1 = \dfrac{7}{5} \times \dfrac{11}{10} = \dfrac{77}{50}\)

  5. \(\dfrac{7}{5} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{7}{5} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{35}{20} = \dfrac{7}{4}\)

  6. \(\dfrac{7}{5} \times 1,8 = \dfrac{7}{5} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{63}{25}\)

Ligne 6 : \(\dfrac{4}{3}\)

  1. \(\dfrac{4}{3} \times 0,4 = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{15}\)

  2. \(\dfrac{4}{3} \times 0,625 = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{6}\)

  3. \(\dfrac{4}{3} \times 0,8 = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{16}{15}\)

  4. \(\dfrac{4}{3} \times 1,1 = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{11}{10} = \dfrac{44}{30} = \dfrac{22}{15}\)

  5. \(\dfrac{4}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{20}{12} = \dfrac{5}{3}\)

  6. \(\dfrac{4}{3} \times 1,8 = \dfrac{4}{3} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{36}{15} = \dfrac{12}{5}\)

Ligne 7 : \(1,75 = \dfrac{7}{4}\)

  1. \(1,75 \times 0,4 = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{20} = \dfrac{7}{10}\)

  2. \(1,75 \times 0,625 = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{35}{32}\)

  3. \(1,75 \times 0,8 = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{28}{20} = \dfrac{7}{5}\)

  4. \(1,75 \times 1,1 = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{11}{10} = \dfrac{77}{40}\)

  5. \(1,75 \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{35}{16}\)

  6. \(1,75 \times 1,8 = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{9}{5} = \dfrac{63}{20}\)

Nous plaçons maintenant ces résultats dans le tableau complet :

\[ \begin{array}{c|cccccc} \cdot & 0,4 & 0,625 & 0,8 & 1,1 & \dfrac{5}{4} & 1,8 \\ \hline 0,25 & \dfrac{1}{10} & \dfrac{5}{32} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{11}{40} & \dfrac{5}{16} & \dfrac{9}{20} \\ 0,5 & \dfrac{1}{5} & \dfrac{5}{16} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{11}{20} & \dfrac{5}{8} & \dfrac{9}{10} \\ 0,75 & \dfrac{3}{10} & \dfrac{15}{32} & \dfrac{3}{5} & \dfrac{33}{40} & \dfrac{15}{16} & \dfrac{27}{20} \\ 1,2 & \dfrac{12}{25} & \dfrac{3}{4} & \dfrac{24}{25} & \dfrac{33}{25} & \dfrac{3}{2} & \dfrac{54}{25} \\ \dfrac{7}{5} & \dfrac{14}{25} & \dfrac{7}{8} & \dfrac{28}{25} & \dfrac{77}{50} & \dfrac{7}{4} & \dfrac{63}{25} \\ \dfrac{4}{3} & \dfrac{8}{15} & \dfrac{5}{6} & \dfrac{16}{15} & \dfrac{22}{15} & \dfrac{5}{3} & \dfrac{12}{5} \\ 1,75 & \dfrac{7}{10} & \dfrac{35}{32} & \dfrac{7}{5} & \dfrac{77}{40} & \dfrac{35}{16} & \dfrac{63}{20} \end{array} \]

Conclusion

Nous avons complété les trois tableaux en détaillant les étapes de multiplication. Pour le premier tableau, nous avons simplement multiplié les décimaux, tandis que pour le deuxième tableau, nous avons multiplié les fractions et simplifié les résultats. Enfin, pour le troisième tableau, nous avons choisi l’écriture (fractionnaire ou décimale) qui permettait de présenter le résultat sous une forme élégante et claire.

Ces démarches vous permettent de consolider la compréhension de la multiplication dans les deux types d’écriture.

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