Exercice 56

Complétez le tableau d’addition suivant en indiquant des fractions réduites :

+ -1 \(-\frac{2}{3}\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{3}\) 0 \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{3}{4}\) 1
-1
\(-\frac{2}{3}\)
\(-\frac{1}{2}\)
\(-\frac{1}{3}\)
0
\(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(\frac{3}{4}\)
1

Réponse

Pour résumer, pour chaque case on additionne la fraction indiquée en début de ligne à celle en haut de la colonne, on met au même dénominateur si nécessaire et on simplifie. Par exemple, pour la première ligne (fraction –1) on obtient :  –1 + (–1) = –2  –1 + (–2⁄3) = –5⁄3  –1 + (–½) = –3⁄2, etc. On procède de même pour toutes les lignes afin d’obtenir le tableau complet en fractions réduites.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice.

Nous devons compléter un tableau d’addition dont les lignes et les colonnes sont étiquetées par des fractions. Pour chaque case, on calcule la somme de la fraction en début de ligne et de la fraction en haut de colonne, et l’on présente le résultat sous forme de fraction réduite.

Les valeurs sont les suivantes :

Nous allons détailler la démarche pour quelques lignes avant de présenter le tableau complet.

Démarche pour le calcul des sommes

Ligne 1 : fraction de ligne = \(-1\)

Vous devez additionner \(-1\) à chacune des fractions en haut de colonne.

  1. Colonne 1 : \(-1 + (-1) = -1 - 1 = -2\)
    On peut écrire \(-2\) sous forme \(-\dfrac{2}{1}\).

  2. Colonne 2 : \(-1 + \left(-\frac{2}{3}\right) = -\left(1 + \frac{2}{3}\right) = -\left(\frac{3}{3}+\frac{2}{3}\right)= -\frac{5}{3}\).

  3. Colonne 3 : \(-1 + \left(-\frac{1}{2}\right)= -\frac{2}{2}-\frac{1}{2}= -\frac{3}{2}\).

  4. Colonne 4 : \(-1 + \left(-\frac{1}{3}\right)= -\frac{3}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}\).

  5. Colonne 5 : \(-1 + 0 = -1\).

  6. Colonne 6 : \(-1 + \frac{1}{3}= -\frac{3}{3}+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\).

  7. Colonne 7 : \(-1 + \frac{1}{2}= -\frac{2}{2}+\frac{1}{2}= -\frac{1}{2}\).

  8. Colonne 8 : \(-1 + \frac{2}{3}= -\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}\).

  9. Colonne 9 : \(-1 + \frac{3}{4}= -\frac{4}{4}+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}\).

  10. Colonne 10 : \(-1 + 1 = 0\).

On retrouve donc la première ligne : \[ -\frac{2}{1},\; -\frac{5}{3},\; -\frac{3}{2},\; -\frac{4}{3},\; -1,\; -\frac{2}{3},\; -\frac{1}{2},\; -\frac{1}{3},\; -\frac{1}{4},\; 0. \]

Ligne 2 : fraction de ligne = \(-\frac{2}{3}\)

Additionnons \(-\frac{2}{3}\) aux fractions colonnes :

  1. Colonne 1 : \(-\frac{2}{3} + (-1)= -\frac{2}{3}-\frac{3}{3}=-\frac{5}{3}\).

  2. Colonne 2 : \(-\frac{2}{3} + \left(-\frac{2}{3}\right)= -\frac{4}{3}\).

  3. Colonne 3 : \(-\frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{2}\right)\).
    Pour additionner, on se donne un dénominateur commun (6) :
    \(-\frac{2}{3}=-\frac{4}{6}\) et \(-\frac{1}{2}=-\frac{3}{6}\);
    donc la somme est \(-\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{7}{6}\).

  4. Colonne 4 : \(-\frac{2}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right)= -\frac{3}{3}=-1\).

  5. Colonne 5 : \(-\frac{2}{3}+ 0= -\frac{2}{3}\).

  6. Colonne 6 : \(-\frac{2}{3}+ \frac{1}{3}= -\frac{1}{3}\).

  7. Colonne 7 : \(-\frac{2}{3}+ \frac{1}{2}\).
    Avec dénominateur commun 6 : \(-\frac{4}{6}+\frac{3}{6}=-\frac{1}{6}\).

  8. Colonne 8 : \(-\frac{2}{3}+ \frac{2}{3}= 0\).

  9. Colonne 9 : \(-\frac{2}{3}+ \frac{3}{4}\).
    Pour additionner, mettons sur le dénominateur 12 :
    \(-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12}\) et \(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\);
    donc la somme est \(\frac{1}{12}\).

  10. Colonne 10 : \(-\frac{2}{3}+1= 1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\).

On obtient ainsi la ligne : \[ -\frac{5}{3},\; -\frac{4}{3},\; -\frac{7}{6},\; -1,\; -\frac{2}{3},\; -\frac{1}{3},\; -\frac{1}{6},\; 0,\; \frac{1}{12},\; \frac{1}{3}. \]

Pour les autres lignes

En appliquant exactement la même méthode — convertir les nombres en fractions ayant des dénominateurs communs lorsque c’est nécessaire et simplifier les résultats — nous trouvons les sommes pour chacune des cases.

Tableau d’addition complet

En résumé, voici le tableau complété avec les fractions sous leur forme réduite :

+ \(-1\) \(-\frac{2}{3}\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{3}\) \(0\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{3}{4}\) \(1\)
\(-1\) \(-\frac{2}{1}\) \(-\frac{5}{3}\) \(-\frac{3}{2}\) \(-\frac{4}{3}\) \(-1\) \(-\frac{2}{3}\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{3}\) \(-\frac{1}{4}\) \(0\)
\(-\frac{2}{3}\) \(-\frac{5}{3}\) \(-\frac{4}{3}\) \(-\frac{7}{6}\) \(-1\) \(-\frac{2}{3}\) \(-\frac{1}{3}\) \(-\frac{1}{6}\) \(0\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{3}\)
\(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{3}{2}\) \(-\frac{7}{6}\) \(-1\) \(-\frac{5}{6}\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{6}\) \(0\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{2}\)
\(-\frac{1}{3}\) \(-\frac{4}{3}\) \(-1\) \(-\frac{5}{6}\) \(-\frac{2}{3}\) \(-\frac{1}{3}\) \(0\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{5}{12}\) \(\frac{2}{3}\)
\(0\) \(-1\) \(-\frac{2}{3}\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{3}\) \(0\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{3}{4}\) \(1\)
\(\frac{1}{3}\) \(-\frac{2}{3}\) \(-\frac{1}{3}\) \(-\frac{1}{6}\) \(0\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3}\) \(\frac{5}{6}\) \(1\) \(\frac{13}{12}\) \(\frac{4}{3}\)
\(\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{6}\) \(0\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{5}{6}\) \(1\) \(\frac{7}{6}\) \(\frac{5}{4}\) \(\frac{3}{2}\)
\(\frac{2}{3}\) \(-\frac{1}{3}\) \(0\) \(\frac{1}{6}\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{2}{3}\) \(1\) \(\frac{7}{6}\) \(\frac{4}{3}\) \(\frac{17}{12}\) \(\frac{5}{3}\)
\(\frac{3}{4}\) \(-\frac{1}{4}\) \(\frac{1}{12}\) \(\frac{1}{4}\) \(\frac{5}{12}\) \(\frac{3}{4}\) \(\frac{13}{12}\) \(\frac{5}{4}\) \(\frac{17}{12}\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{7}{4}\)
\(1\) \(0\) \(\frac{1}{3}\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{2}{3}\) \(1\) \(\frac{4}{3}\) \(\frac{3}{2}\) \(\frac{5}{3}\) \(\frac{7}{4}\) \(2\)

Récapitulatif de la méthode

  1. Pour chaque cellule, on additionne la fraction de la ligne et celle de la colonne.
    Exemple : Pour la cellule en ligne 3 (qui correspond à \(-\frac{1}{2}\)) et colonne 8 (qui correspond à \(\frac{2}{3}\)), on calcule
    \[ -\frac{1}{2}+\frac{2}{3} = -\frac{3}{6}+\frac{4}{6} = \frac{1}{6}. \]

  2. Pour réaliser l’addition, on met parfois les fractions au même dénominateur.
    Exemple :
    \(-\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{4}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{7}{6}\).

  3. On simplifie toujours la fraction obtenue.

Cette méthode s’applique à toutes les cases du tableau.

Ainsi, le tableau complet et corrigé est présenté ci-dessus.

En suivant ces étapes, on obtient le tableau d’addition en fractions réduites correspondant à l’exercice.

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