Exercice 55

Complétez chaque opération en trouvant la fraction irréductible manquante :

a) \[ -\frac{2}{3} - \, \boxed{?} \, = -\frac{5}{6} \]

b) \[ \boxed{?} + 3,\overline{3} = \frac{7}{2} \]

c) \[ \frac{4}{5} - \, \boxed{?} \, = \frac{2}{3} \]

d) \[ \boxed{?} + \frac{24}{32} = -\frac{1}{2} \]

e) \[ \frac{5}{9} + \, \boxed{?} \, = \frac{8}{9} \]

f) \[ \frac{7}{10} - \, \boxed{?} \, = \frac{2}{5} \]

g) \[ \frac{7}{8} - \, \boxed{?} \, = \frac{1}{4} \]

h) \[ \boxed{?} + \frac{20}{30} = \frac{7}{6} \]

Réponse

Réponses :

  1. 1/6
  2. 1/6
  3. 2/15
  4. -5/4
  5. 1/3
  6. 3/10
  7. 5/8
  8. 1/2

Corrigé détaillé

Nous allons déterminer, pour chacune des opérations, la fraction manquante (que nous appellerons \(x\)) de manière détaillée.

a) \(-\frac{2}{3} - \, \boxed{?} \, = -\frac{5}{6}\)
  1. On écrit l’équation : \[ -\frac{2}{3} - x = -\frac{5}{6} \]
  2. Pour isoler \(x\), on ajoute \(\frac{2}{3}\) de chaque côté : \[ - x = -\frac{5}{6} + \frac{2}{3} \]
  3. Mets \(\frac{2}{3}\) sur un dénominateur commun (6) : \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \] Ainsi, \[ - x = -\frac{5}{6} + \frac{4}{6} = -\frac{1}{6} \]
  4. Multiplie par \(-1\) pour obtenir \(x\) : \[ x = \frac{1}{6} \]

Réponse a) : \(\displaystyle \frac{1}{6}\)

b) \(\boxed{?} + 3,\overline{3} = \frac{7}{2}\)
  1. La notation \(3,\overline{3}\) correspond à \(3,3333...\) qui s’écrit sous forme fractionnaire. On peut remarquer que : \[ 3,\overline{3} = 3 + 0,\overline{3} = 3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3} \]
  2. L’équation devient alors : \[ x + \frac{10}{3} = \frac{7}{2} \]
  3. On isole \(x\) : \[ x = \frac{7}{2} - \frac{10}{3} \]
  4. Pour soustraire, on trouve un dénominateur commun (6) : \[ \frac{7}{2} = \frac{21}{6}\quad \text{et} \quad \frac{10}{3} = \frac{20}{6} \] Donc, \[ x = \frac{21}{6} - \frac{20}{6} = \frac{1}{6} \]

Réponse b) : \(\displaystyle \frac{1}{6}\)

c) \(\frac{4}{5} - \, \boxed{?} \, = \frac{2}{3}\)
  1. On écrit l’équation : \[ \frac{4}{5} - x = \frac{2}{3} \]
  2. Pour isoler \(x\), soustrayons \(\frac{2}{3}\) de \(\frac{4}{5}\) : \[ x = \frac{4}{5} - \frac{2}{3} \]
  3. On trouve un dénominateur commun (15) : \[ \frac{4}{5} = \frac{12}{15}\quad \text{et} \quad \frac{2}{3} = \frac{10}{15} \] Ainsi, \[ x = \frac{12}{15} - \frac{10}{15} = \frac{2}{15} \]

Réponse c) : \(\displaystyle \frac{2}{15}\)

d) \(\boxed{?} + \frac{24}{32} = -\frac{1}{2}\)
  1. La fraction \(\frac{24}{32}\) peut être simplifiée en divisant numérateur et dénominateur par 8 : \[ \frac{24}{32} = \frac{3}{4} \]
  2. L’équation devient : \[ x + \frac{3}{4} = -\frac{1}{2} \]
  3. Isolez \(x\) : \[ x = -\frac{1}{2} - \frac{3}{4} \]
  4. Pour soustraire, mettez sur un même dénominateur (4) : \[ -\frac{1}{2} = -\frac{2}{4} \] Ainsi, \[ x = -\frac{2}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{5}{4} \]

Réponse d) : \(\displaystyle -\frac{5}{4}\)

e) \(\frac{5}{9} + \, \boxed{?} \, = \frac{8}{9}\)
  1. On écrit l’équation : \[ \frac{5}{9} + x = \frac{8}{9} \]
  2. Isolez \(x\) en soustrayant \(\frac{5}{9}\) de \(\frac{8}{9}\) : \[ x = \frac{8}{9} - \frac{5}{9} = \frac{3}{9} \]
  3. On simplifie \(\frac{3}{9}\) en divisant par 3 : \[ \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \]

Réponse e) : \(\displaystyle \frac{1}{3}\)

f) \(\frac{7}{10} - \, \boxed{?} \, = \frac{2}{5}\)
  1. On écrit l’équation : \[ \frac{7}{10} - x = \frac{2}{5} \]
  2. Pour isoler \(x\), on soustrait \(\frac{2}{5}\) de \(\frac{7}{10}\) : \[ x = \frac{7}{10} - \frac{2}{5} \]
  3. Exprimez \(\frac{2}{5}\) avec le dénominateur 10 : \[ \frac{2}{5} = \frac{4}{10} \] Ainsi, \[ x = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10} \]

Réponse f) : \(\displaystyle \frac{3}{10}\)

g) \(\frac{7}{8} - \, \boxed{?} \, = \frac{1}{4}\)
  1. On écrit l’équation : \[ \frac{7}{8} - x = \frac{1}{4} \]
  2. Isolez \(x\) : \[ x = \frac{7}{8} - \frac{1}{4} \]
  3. Pour effectuer la soustraction, mettez \(\frac{1}{4}\) sur le même dénominateur : \[ \frac{1}{4} = \frac{2}{8} \] Ainsi, \[ x = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8} \]

Réponse g) : \(\displaystyle \frac{5}{8}\)

h) \(\boxed{?} + \frac{20}{30} = \frac{7}{6}\)
  1. Simplifions \(\frac{20}{30}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 10 (puis par 2 si nécessaire) : \[ \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \]
  2. L’équation devient alors : \[ x + \frac{2}{3} = \frac{7}{6} \]
  3. Isolez \(x\) en soustrayant \(\frac{2}{3}\) de \(\frac{7}{6}\) : \[ x = \frac{7}{6} - \frac{2}{3} \]
  4. Pour la soustraction, exprimez \(\frac{2}{3}\) avec le dénominateur 6 : \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \] Ainsi, \[ x = \frac{7}{6} - \frac{4}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

Réponse h) : \(\displaystyle \frac{1}{2}\)

Récapitulatif des réponses

Cette méthode permet de résoudre chacune des opérations étape par étape en isolant la fraction inconnue et en effectuant les opérations sur les fractions en utilisant un dénominateur commun lorsque nécessaire.

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