Exercice 54

1. Complétez avec les signes \(<\), \(>\) ou \(=\) :

  1. \[ \frac{4}{7} \quad ? \quad -\frac{3}{7} \]

  2. \[ -\frac{17}{11} \quad ? \quad -\frac{17}{12} \]

  3. \[ -\frac{7}{10} \quad ? \quad -\frac{3}{10} \]

  4. \[ -\frac{5}{8} \quad ? \quad -\frac{6}{11} \]

2. Effectuez les calculs suivants :

  1. \[ -\frac{3}{5}+\frac{4}{3}= \]

  2. \[ -\frac{2}{9}-\frac{5}{2}= \]

  3. \[ \frac{3}{4}-\frac{4}{3}= \]

  4. \[ -\frac{5}{7}+\frac{2}{7}= \]

  5. \[ \left(-\frac{11}{6}\right)-\left(-\frac{2}{3}\right)= \]

  6. \[ \left(-\frac{8}{15}\right)+\left(-\frac{2}{15}\right)= \]

  7. \[ \frac{5}{8}+\frac{3}{10}= \]

  8. \[ -\frac{14}{9}-\frac{8}{9}= \]

  9. \[ \frac{3}{5}-\frac{8}{3}= \]

  10. \[ \frac{17}{10}-\frac{3}{4}= \]

  11. \[ 1-\frac{4}{3}= \]

  12. \[ 0{,}7+\frac{4}{9}= \]

  13. \[ 1{,}8-0,\overline{8}= \]

  14. \[ -\frac{3}{2}-\frac{4}{5}-2= \]

  15. \[ \left(-\frac{2}{5}\right)-\left(\frac{2}{7}\right)-\left(-\frac{3}{4}\right)= \]

  16. \[ \frac{3}{4}-0,\overline{4}+1{,}5= \]

Réponse

Réponses :

  1. Comparaisons :  1) 4/7 > –3/7
     2) –17/11 < –17/12
     3) –7/10 < –3/10
     4) –5/8 < –6/11

  2. Calculs :  a) 11/15  b) –49/18  c) –7/12  d) –3/7
     e) –7/6  f) –2/3  g) 37/40  h) –22/9
     i) –31/15  j) 19/20  k) –1/3  l) 103/90
     m) 41/45  n) –43/10  o) 9/140  p) 65/36

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

1. Complétez avec les signes \(<\), \(>\) ou \(=\)

1) Comparaison de \(\frac{4}{7}\) et \(-\frac{3}{7}\)

Conclusion :
\[ \frac{4}{7} > -\frac{3}{7} \]

2) Comparaison de \(-\frac{17}{11}\) et \(-\frac{17}{12}\)

Conclusion :
\[ -\frac{17}{11} < -\frac{17}{12} \]

3) Comparaison de \(-\frac{7}{10}\) et \(-\frac{3}{10}\)

Conclusion :
\[ -\frac{7}{10} < -\frac{3}{10} \]

4) Comparaison de \(-\frac{5}{8}\) et \(-\frac{6}{11}\)

Pour comparer ces deux nombres, plusieurs méthodes sont possibles. Nous allons ici utiliser une méthode de conversion en nombres décimaux ou la comparaison par produit croisé.

Méthode décimale :

Dans le domaine des nombres négatifs, le nombre avec une valeur absolue plus grande est plus petit. Ici, \(-0{,}625 < -0{,}545\).

Conclusion :
\[ -\frac{5}{8} < -\frac{6}{11} \]

2. Effectuez les calculs suivants

Pour chacun de ces calculs, nous mettrons les fractions sous un dénominateur commun afin de faciliter l’addition ou la soustraction.

a) \(\displaystyle -\frac{3}{5}+\frac{4}{3}\)
  1. Le dénominateur commun de 5 et 3 est \(15\).
  2. On écrit : \[ -\frac{3}{5} = -\frac{3\times3}{5\times3} = -\frac{9}{15} \quad \text{et} \quad \frac{4}{3} = \frac{4\times5}{3\times5} = \frac{20}{15}. \]
  3. La somme est : \[ -\frac{9}{15}+\frac{20}{15}=\frac{20-9}{15}=\frac{11}{15}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{11}{15}\)

b) \(\displaystyle -\frac{2}{9}-\frac{5}{2}\)
  1. Le dénominateur commun de 9 et 2 est \(18\).
  2. On convertit : \[ -\frac{2}{9} = -\frac{2\times2}{9\times2}=-\frac{4}{18}, \quad \frac{5}{2} = \frac{5\times9}{2\times9}=\frac{45}{18}. \]
  3. Comme la soustraction porte sur deux termes négatifs : \[ -\frac{4}{18}-\frac{45}{18} = -\frac{4+45}{18}=-\frac{49}{18}. \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{49}{18}\)

c) \(\displaystyle \frac{3}{4}-\frac{4}{3}\)
  1. Le dénominateur commun de 4 et 3 est \(12\).
  2. On écrit : \[ \frac{3}{4}=\frac{3\times3}{4\times3}=\frac{9}{12}, \quad \frac{4}{3}=\frac{4\times4}{3\times4}=\frac{16}{12}. \]
  3. La différence est : \[ \frac{9}{12}-\frac{16}{12}=\frac{9-16}{12}=-\frac{7}{12}. \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{7}{12}\)

d) \(\displaystyle -\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\)

Les deux fractions ont le même dénominateur :

\[ -\frac{5}{7}+\frac{2}{7}=\frac{-5+2}{7}=-\frac{3}{7}. \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{3}{7}\)

e) \(\displaystyle \left(-\frac{11}{6}\right)-\left(-\frac{2}{3}\right)\)
  1. Changer la soustraction d’une fraction négative en addition : \[ -\frac{11}{6}+\frac{2}{3}. \]
  2. Remettre sous dénominateur commun (6) : \[ \frac{2}{3}=\frac{2\times2}{3\times2}=\frac{4}{6}. \]
  3. Ainsi : \[ -\frac{11}{6}+\frac{4}{6}=\frac{-11+4}{6}=-\frac{7}{6}. \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{7}{6}\)

f) \(\displaystyle \left(-\frac{8}{15}\right)+\left(-\frac{2}{15}\right)\)
  1. Même dénominateur : \[ -\frac{8}{15} -\frac{2}{15} = -\frac{8+2}{15}=-\frac{10}{15}. \]
  2. Simplifier : \[ -\frac{10}{15}=-\frac{2}{3}. \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{2}{3}\)

g) \(\displaystyle \frac{5}{8}+\frac{3}{10}\)
  1. Le dénominateur commun de 8 et 10 est \(40\).
  2. On transforme : \[ \frac{5}{8}=\frac{5\times5}{8\times5}=\frac{25}{40}, \quad \frac{3}{10}=\frac{3\times4}{10\times4}=\frac{12}{40}. \]
  3. La somme donne : \[ \frac{25}{40}+\frac{12}{40}=\frac{25+12}{40}=\frac{37}{40}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{37}{40}\)

h) \(\displaystyle -\frac{14}{9}-\frac{8}{9}\)
  1. Mêmes dénominateurs : \[ -\frac{14}{9}-\frac{8}{9} = -\frac{14+8}{9}=-\frac{22}{9}. \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{22}{9}\)

i) \(\displaystyle \frac{3}{5}-\frac{8}{3}\)
  1. Le dénominateur commun de 5 et 3 est \(15\).
  2. On convertit : \[ \frac{3}{5}=\frac{3\times3}{5\times3}=\frac{9}{15}, \quad \frac{8}{3}=\frac{8\times5}{3\times5}=\frac{40}{15}. \]
  3. La soustraction est : \[ \frac{9}{15}-\frac{40}{15}=\frac{9-40}{15}=-\frac{31}{15}. \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{31}{15}\)

j) \(\displaystyle \frac{17}{10}-\frac{3}{4}\)
  1. Le dénominateur commun de 10 et 4 est \(20\).
  2. On écrit : \[ \frac{17}{10}=\frac{17\times2}{10\times2}=\frac{34}{20}, \quad \frac{3}{4}=\frac{3\times5}{4\times5}=\frac{15}{20}. \]
  3. La différence est : \[ \frac{34}{20}-\frac{15}{20}=\frac{34-15}{20}=\frac{19}{20}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{19}{20}\)

k) \(\displaystyle 1-\frac{4}{3}\)
  1. On écrit 1 sous forme de fraction avec dénominateur 3 : \[ 1=\frac{3}{3}. \]
  2. Alors : \[ \frac{3}{3}-\frac{4}{3}=\frac{3-4}{3}=-\frac{1}{3}. \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{1}{3}\)

l) \(\displaystyle 0{,}7+\frac{4}{9}\)
  1. Convertissons le nombre décimal en fraction :
    \(0{,}7=\frac{7}{10}\).
  2. Le dénominateur commun de 10 et 9 est \(90\) : \[ \frac{7}{10}=\frac{7\times9}{10\times9}=\frac{63}{90}, \quad \frac{4}{9}=\frac{4\times10}{9\times10}=\frac{40}{90}. \]
  3. La somme s’obtient : \[ \frac{63}{90}+\frac{40}{90}=\frac{103}{90}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{103}{90}\)

m) \(\displaystyle 1{,}8-0,\overline{8}\)
  1. La notation \(0,\overline{8}\) représente le nombre décimal périodique \(0{,}8888\ldots\) qui s’écrit aussi sous forme de fraction :
    \[ 0,\overline{8}=\frac{8}{9}. \]
  2. Exprimons \(1{,}8\) en fraction :
    \(1{,}8=\frac{18}{10}\) (puisqu’on a déplacé la virgule après une décimale).
  3. Pour soustraire, on cherche un dénominateur commun. Le dénominateur commun de 10 et 9 est \(90\) : \[ 1{,}8=\frac{18}{10}=\frac{18\times9}{10\times9}=\frac{162}{90}, \quad \frac{8}{9}=\frac{8\times10}{9\times10}=\frac{80}{90}. \]
  4. La différence donne : \[ \frac{162}{90}-\frac{80}{90}=\frac{162-80}{90}=\frac{82}{90}. \]
  5. Cette fraction se simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 2 : \[ \frac{82}{90}=\frac{41}{45}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{41}{45}\)

n) \(\displaystyle -\frac{3}{2}-\frac{4}{5}-2\)
  1. Il faut ajouter trois termes. Convertissons-les en fractions ayant un même dénominateur. Pour \(\frac{3}{2}\) et \(\frac{4}{5}\), le dénominateur commun de 2 et 5 est 10.
    Note : \(2\) peut s’écrire sous forme fractionnaire en gardant le dénominateur 10.
  2. Transformations : \[ -\frac{3}{2}=-\frac{3\times5}{2\times5}=-\frac{15}{10}, \quad -\frac{4}{5}=-\frac{4\times2}{5\times2}=-\frac{8}{10}, \quad -2=-\frac{2\times10}{1\times10}=-\frac{20}{10}. \]
  3. Additionnons : \[ -\frac{15}{10}-\frac{8}{10}-\frac{20}{10}=-\frac{15+8+20}{10}=-\frac{43}{10}. \]

Réponse : \(\displaystyle -\frac{43}{10}\)

o) \(\displaystyle \left(-\frac{2}{5}\right)-\left(\frac{2}{7}\right)-\left(-\frac{3}{4}\right)\)
  1. Réécrivons l’expression en changeant la soustraction d’un nombre négatif en addition : \[ -\frac{2}{5}-\frac{2}{7}+\frac{3}{4}. \]
  2. Le dénominateur commun de 5, 7 et 4 est \(140\) (puisque \(5 \times 7 \times 4 = 140\) ou en utilisant le PPCM).
  3. Conversion : \[ -\frac{2}{5}=-\frac{2\times28}{5\times28}=-\frac{56}{140}, \] \[ -\frac{2}{7}=-\frac{2\times20}{7\times20}=-\frac{40}{140}, \] \[ \frac{3}{4}=\frac{3\times35}{4\times35}=\frac{105}{140}. \]
  4. Addition : \[ -\frac{56}{140}-\frac{40}{140}+\frac{105}{140}=\frac{-56-40+105}{140}=\frac{9}{140}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{9}{140}\)

p) \(\displaystyle \frac{3}{4}-0,\overline{4}+1{,}5\)
  1. Ici, \(0,\overline{4}\) représente \(0,4444\ldots\) qui s’écrit en fraction sous la forme \(\frac{4}{9}\).
  2. Exprimons chaque terme en fraction.
    • \(\frac{3}{4}\) reste tel quel.
    • \(0,\overline{4}=\frac{4}{9}\).
    • \(1{,}5=1,5=\frac{3}{2}\) (puisque \(1,5=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\)).
  3. Pour effectuer \(\frac{3}{4}-\frac{4}{9}\), trouvons un dénominateur commun pour 4 et 9, qui est 36 : \[ \frac{3}{4}=\frac{3\times9}{4\times9}=\frac{27}{36}, \quad \frac{4}{9}=\frac{4\times4}{9\times4}=\frac{16}{36}. \] Ainsi, \[ \frac{3}{4}-\frac{4}{9}=\frac{27-16}{36}=\frac{11}{36}. \]
  4. Maintenant, ajoutons \(1,5=\frac{3}{2}\). Pour additionner avec \(\frac{11}{36}\), exprimons \(\frac{3}{2}\) avec le dénominateur 36 : \[ \frac{3}{2}=\frac{3\times18}{2\times18}=\frac{54}{36}. \]
  5. La somme totale est : \[ \frac{11}{36}+\frac{54}{36}=\frac{11+54}{36}=\frac{65}{36}. \]

Réponse : \(\displaystyle \frac{65}{36}\)

Récapitulatif des réponses

  1.  1) \(\frac{4}{7} > -\frac{3}{7}\)
     2) \(-\frac{17}{11} < -\frac{17}{12}\)
     3) \(-\frac{7}{10} < -\frac{3}{10}\)
     4) \(-\frac{5}{8} < -\frac{6}{11}\)

  2.  a) \(\displaystyle \frac{11}{15}\)
     b) \(\displaystyle -\frac{49}{18}\)
     c) \(\displaystyle -\frac{7}{12}\)
     d) \(\displaystyle -\frac{3}{7}\)
     e) \(\displaystyle -\frac{7}{6}\)
     f) \(\displaystyle -\frac{2}{3}\)
     g) \(\displaystyle \frac{37}{40}\)
     h) \(\displaystyle -\frac{22}{9}\)
     i) \(\displaystyle -\frac{31}{15}\)
     j) \(\displaystyle \frac{19}{20}\)
     k) \(\displaystyle -\frac{1}{3}\)
     l) \(\displaystyle \frac{103}{90}\)
     m) \(\displaystyle \frac{41}{45}\)
     n) \(\displaystyle -\frac{43}{10}\)
     o) \(\displaystyle \frac{9}{140}\)
     p) \(\displaystyle \frac{65}{36}\)

Chaque étape a été détaillée afin de bien comprendre le processus de conversion et de calcul. N’hésitez pas à poser des questions si quelque chose reste flou !

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