Exercice 52

Calculez les expressions suivantes :

\(\frac{3}{7} + \frac{3}{2} =\)
\(\frac{8}{3} - \frac{8}{4} =\)
\(\frac{15}{4} - \frac{4}{5} =\)
\(\frac{9}{15} + \frac{6}{9} - \frac{8}{12} =\)
\(\frac{4}{9} + 2 =\)
\(\frac{7}{5} - \frac{2}{7} =\)
\(6 - 2,\overline{3} =\)
\(\frac{2}{5} + \frac{9}{4} - \frac{7}{8} =\)
\(\frac{5}{8} + 4 - 1,\overline{2} =\)
\(\frac{3}{10} + \frac{8}{5} =\)

Réponse

Voici les réponses succinctes :

27/14
2/3
59/20
3/5
22/9
39/35
11/3
71/40
245/72
19/10

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque expression :

a) \(\frac{3}{7} + \frac{3}{2}\)

Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 7 et 2. Le plus petit commun multiple (PPCM) est \(14\).
Mettre chaque fraction sous le même dénominateur :
\[ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 2}{7 \times 2} = \frac{6}{14}, \qquad \frac{3}{2} = \frac{3 \times 7}{2 \times 7} = \frac{21}{14}. \]
Additionner les fractions :
\[ \frac{6}{14} + \frac{21}{14} = \frac{6+21}{14} = \frac{27}{14}. \]

On peut aussi écrire le résultat sous forme de nombre mixte :
\(\frac{27}{14} = 1\frac{13}{14}\).

b) \(\frac{8}{3} - \frac{8}{4}\)

Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 3 et 4. Le PPCM est \(12\).
Exprimer chaque fraction avec le dénominateur 12 :
\[ \frac{8}{3} = \frac{8 \times 4}{3 \times 4} = \frac{32}{12}, \qquad \frac{8}{4} = \frac{8 \times 3}{4 \times 3} = \frac{24}{12}. \]
Effectuer la soustraction :
\[ \frac{32}{12} - \frac{24}{12} = \frac{32-24}{12} = \frac{8}{12}. \]
Simplifier la fraction :
Divisons le numérateur et le dénominateur par 4 :
\(\frac{8\div 4}{12\div 4} = \frac{2}{3}\).

c) \(\frac{15}{4} - \frac{4}{5}\)

Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 4 et 5. Le PPCM est \(20\).
Convertir chaque fraction :
\[ \frac{15}{4} = \frac{15 \times 5}{4 \times 5} = \frac{75}{20}, \qquad \frac{4}{5} = \frac{4 \times 4}{5 \times 4} = \frac{16}{20}. \]
Effectuer la soustraction :
\[ \frac{75}{20} - \frac{16}{20} = \frac{75-16}{20} = \frac{59}{20}. \]

Sous forme de nombre mixte, \(\frac{59}{20} = 2\frac{19}{20}\).

d) \(\frac{9}{15} + \frac{6}{9} - \frac{8}{12}\)

Simplifier chaque fraction :
\[ \frac{9}{15} = \frac{9\div3}{15\div3} = \frac{3}{5}, \qquad \frac{6}{9} = \frac{6\div3}{9\div3} = \frac{2}{3}, \qquad \frac{8}{12} = \frac{8\div4}{12\div4} = \frac{2}{3}. \]
Remplacer dans l’expression :
\[ \frac{3}{5} + \frac{2}{3} - \frac{2}{3}. \]
Simplifier :
\(\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0\).
Donc, le résultat est simplement \(\frac{3}{5}\).

e) \(\frac{4}{9} + 2\)

Transformer le nombre entier en fraction ayant le même dénominateur :
Le dénominateur est 9.
\(2 = \frac{2 \times 9}{9} = \frac{18}{9}\).
Additionner les fractions :
\[ \frac{4}{9} + \frac{18}{9} = \frac{4+18}{9} = \frac{22}{9}. \]

Sous forme mixte, \(\frac{22}{9} = 2\frac{4}{9}\).

f) \(\frac{7}{5} - \frac{2}{7}\)

Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs 5 et 7 donnent un PPCM de \(35\).
Convertir chaque fraction :
\[ \frac{7}{5} = \frac{7 \times 7}{5 \times 7} = \frac{49}{35}, \qquad \frac{2}{7} = \frac{2 \times 5}{7 \times 5} = \frac{10}{35}. \]
Soustraire :
\[ \frac{49}{35} - \frac{10}{35} = \frac{49-10}{35} = \frac{39}{35}. \]

En nombre mixte, \(\frac{39}{35} = 1\frac{4}{35}\).

g) \(6 - 2,\overline{3}\)

Interpréter le nombre décimal répété :
\[ 2,\overline{3} \quad \text{signifie} \quad 2,3333\ldots \] Ce nombre se convertit en fraction de la façon suivante :

Soit \(x = 2,3333\ldots\). La partie décimale répétée est « 3 ».
On écrit \(x = 2 + 0,3333\ldots\), et comme \(0,3333\ldots = \frac{1}{3}\), on a : \[ x = 2 + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}. \]
Effectuer la soustraction :
\[ 6 - \frac{7}{3} = \frac{6 \times 3}{3} - \frac{7}{3} = \frac{18-7}{3} = \frac{11}{3}. \]

Sous forme mixte, \(\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}\).

h) \(\frac{2}{5} + \frac{9}{4} - \frac{7}{8}\)

Trouver un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 5, 4 et 8. Le PPCM de 5, 4 et 8 est \(40\).
Exprimer chaque fraction avec le dénominateur 40 :
\[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} = \frac{16}{40}, \qquad \frac{9}{4} = \frac{9 \times 10}{4 \times 10} = \frac{90}{40}, \qquad \frac{7}{8} = \frac{7 \times 5}{8 \times 5} = \frac{35}{40}. \]
Effectuer l’opération :
\[ \frac{16}{40} + \frac{90}{40} - \frac{35}{40} = \frac{16+90-35}{40} = \frac{71}{40}. \]

i) \(\frac{5}{8} + 4 - 1,\overline{2}\)

Interpréter le nombre décimal répété :
\(1,\overline{2}\) signifie \(1,2222\ldots\).
Pour le convertir en fraction, on effectue : \[ x = 1,2222\ldots \] La partie répétée est « 2 » (un seul chiffre).
La formule de conversion donne :
\[ x = 1 + \frac{2}{9} = \frac{9}{9} + \frac{2}{9} = \frac{11}{9}. \]
Exprimer tous les termes sous forme de fraction avec un dénominateur commun :
On a : \[ \frac{5}{8} + 4 - \frac{11}{9}. \]

Trouvons un dénominateur commun pour 8 et 9, qui est \(72\).
- \(\frac{5}{8} = \frac{5 \times 9}{8 \times 9} = \frac{45}{72}\).
- \(4 = \frac{4 \times 72}{72} = \frac{288}{72}\).
- \(\frac{11}{9} = \frac{11 \times 8}{9 \times 8} = \frac{88}{72}\).
Effectuer l’opération :
\[ \frac{45}{72} + \frac{288}{72} - \frac{88}{72} = \frac{45 + 288 - 88}{72} = \frac{245}{72}. \]

j) \(\frac{3}{10} + \frac{8}{5}\)

Mettre les fractions au même dénominateur :
Le dénominateur commun peut être \(10\).
\(\frac{8}{5} = \frac{8 \times 2}{5 \times 2} = \frac{16}{10}\).
Additionner les fractions :
\[ \frac{3}{10} + \frac{16}{10} = \frac{3+16}{10} = \frac{19}{10}. \]

Ce résultat peut être écrit sous forme mixte :
\(\frac{19}{10} = 1\frac{9}{10}\).

Résumé des réponses

\(\displaystyle \frac{27}{14}\)
\(\displaystyle \frac{2}{3}\)
\(\displaystyle \frac{59}{20}\)
\(\displaystyle \frac{3}{5}\)
\(\displaystyle \frac{22}{9}\)
\(\displaystyle \frac{39}{35}\)
\(\displaystyle \frac{11}{3}\)
\(\displaystyle \frac{71}{40}\)
\(\displaystyle \frac{245}{72}\)
\(\displaystyle \frac{19}{10}\)

Chaque étape permet de comprendre comment obtenir ces résultats en passant par la mise sous dénominateur commun, la conversion de nombres décimaux répétés en fractions, et la simplification finale des expressions.