Exercice 49

Remplacez les espaces entre les expressions par le symbole \(=\) ou par le symbole \(\neq\), selon que les expressions sont équivalentes ou non.

1. \[ \frac{240}{480} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{24 \times 10}{24 \times 20} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{10}{20} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{1}{2} \]

2. \[ \frac{24+90}{24+75} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{90}{75} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{6}{5} \]

3. \[ \frac{24+24}{24+24+24} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{24 \times 2}{24 \times 3} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{2}{3} \]

4. \[ \frac{145}{275} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{29}{55} \]

5. \[ \frac{19^{4}}{19^{2}} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{19^{2} \times 19^{2}}{19^{2}} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad 19^{2} \]

6. \[ \frac{24+24+26}{24+26} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad 24 \]

7. \[ \frac{19^{2}+19^{3}}{19^{2}} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{19^{2}}{19^{2}}+\frac{19^{3}}{19^{2}} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad 1+19 \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad 20 \]

Réponse

Réponses rapides :

1. 240/480 = 24×10/(24×20) = 10/20 = 1/2
   
2. (24+90)/(24+75) ≠ 90/75 = 6/5
   
3. (24+24)/(24+24+24) = 24×2/(24×3) = 2/3
   
4. 145/275 = 29/55
   
5. 19⁴/19² = (19²×19²)/19² = 19²
   
6. (24+24+26)/(24+26) ≠ 24
   
7. (19²+19³)/19² = 19²/19² + 19³/19² = 1+19 = 20

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en français.

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Problème :

On doit remplacer les espaces entre les expressions par le symbole \(=\) ou par le symbole \(\neq\), selon que les expressions sont équivalentes ou non.

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a)

\[ \frac{240}{480} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{24 \times 10}{24 \times 20} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{10}{20} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{1}{2} \]

Étape 1 : Simplifier chaque expression

1. Première fraction :
   \[ \frac{240}{480} = \frac{240\div240}{480\div240} = \frac{1}{2} \]

2. Deuxième fraction :
   \[ \frac{24 \times 10}{24 \times 20} = \frac{10}{20} = \frac{10\div10}{20\div10} = \frac{1}{2} \]

3. Troisième fraction :
   \(\frac{10}{20} = \frac{1}{2}\)
   (En simplifiant: \(\frac{10\div10}{20\div10}=\frac{1}{2}\))

4. La quatrième fraction est déjà donnée sous forme simplifiée :
   \(\frac{1}{2}\).

Conclusion :
Toutes les expressions valent \(\frac{1}{2}\) donc on utilise le symbole \(=\) entre chacune.

Réponse a) :
\[ \frac{240}{480} = \frac{24 \times 10}{24 \times 20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \]

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b)

\[ \frac{24+90}{24+75} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{90}{75} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{6}{5} \]

Étape 1 : Calculer la première fraction

• Effectuons les additions : \[ 24+90 = 114 \quad \text{et} \quad 24+75 = 99. \] Donc, \[ \frac{24+90}{24+75} = \frac{114}{99}. \]

• Simplifions en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 : \[ \frac{114\div3}{99\div3} = \frac{38}{33}. \]

Étape 2 : Simplifier la deuxième fraction

• Pour \(\frac{90}{75}\), divisons par 15 : \[ \frac{90\div15}{75\div15} = \frac{6}{5}. \]

Étape 3 : Comparaison

• La deuxième fraction simplifiée est \(\frac{6}{5}\).
  
• La première fraction simplifiée \(\frac{38}{33}\) n’est pas égale à \(\frac{6}{5}\) car : \[ \frac{38}{33} \approx 1,1515 \quad \text{et} \quad \frac{6}{5} = 1,2. \]

Conclusion :
\[ \frac{24+90}{24+75} \neq \frac{90}{75} = \frac{6}{5}. \]

Réponse b) :
\[ \frac{24+90}{24+75} \neq \frac{90}{75} = \frac{6}{5} \]

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c)

\[ \frac{24+24}{24+24+24} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{24 \times 2}{24 \times 3} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{2}{3} \]

Étape 1 : Simplifier la première fraction

• Calculons : \[ 24+24 = 48 \quad \text{et} \quad 24+24+24 = 72. \] Donc, \[ \frac{48}{72} = \frac{48\div24}{72\div24} = \frac{2}{3}. \]

Étape 2 : Simplifier la deuxième fraction

• On a : \[ \frac{24 \times 2}{24 \times 3} = \frac{48}{72} = \frac{48\div24}{72\div24} = \frac{2}{3}. \]

Étape 3 : La troisième fraction est \(\frac{2}{3}\) déjà.

Conclusion :
Toutes les fractions sont égales à \(\frac{2}{3}\).

Réponse c) :
\[ \frac{24+24}{24+24+24} = \frac{24 \times 2}{24 \times 3} = \frac{2}{3} \]

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d)

\[ \frac{145}{275} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{29}{55} \]

Étape 1 : Simplifier \(\frac{145}{275}\)

• On remarque que 145 et 275 sont divisibles par 5 : \[ 145\div5 = 29,\quad 275\div5 = 55. \] Ainsi, \[ \frac{145}{275} = \frac{29}{55}. \]

Conclusion :
Les deux fractions sont égales.

Réponse d) :
\[ \frac{145}{275} = \frac{29}{55} \]

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e)

\[ \frac{19^{4}}{19^{2}} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{19^{2} \times 19^{2}}{19^{2}} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad 19^{2} \]

Étape 1 : Simplifier la première expression

• Utilisons la règle des exposants : \[ \frac{19^4}{19^2} = 19^{4-2} = 19^2. \]

Étape 2 : Simplifier la deuxième expression

• Dans le numérateur, on a : \[ 19^2 \times 19^2 = 19^{2+2} = 19^4. \] Donc, \[ \frac{19^4}{19^2} = 19^{4-2} = 19^2. \]

Étape 3 : La troisième expression est déjà \(19^2\).

Conclusion :
Toutes les expressions sont égales.

Réponse e) :
\[ \frac{19^{4}}{19^{2}} = \frac{19^{2} \times 19^{2}}{19^{2}} = 19^{2} \]

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f)

\[ \frac{24+24+26}{24+26} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad 24 \]

Étape 1 : Calculer la fraction

• Numérateur : \[ 24+24+26 = 48+26 = 74. \]
• Dénominateur : \[ 24+26 = 50. \] Ainsi, \[ \frac{74}{50} = \frac{74\div2}{50\div2} = \frac{37}{25}. \]

Étape 2 : Comparer avec 24

• On écrit \(24\) sous forme de fraction : \[ 24 = \frac{24}{1}. \] Il est clair que \(\frac{37}{25}\) n’est pas égal à \(24\) car \[ \frac{37}{25} \approx 1,48 \quad \text{et} \quad 24 = 24. \]

Conclusion :
La fraction \(\frac{24+24+26}{24+26}\) n’est pas égale à \(24\).

Réponse f) :
\[ \frac{24+24+26}{24+26} \neq 24 \]

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g)

\[ \frac{19^{2}+19^{3}}{19^{2}} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad \frac{19^{2}}{19^{2}}+\frac{19^{3}}{19^{2}} \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad 1+19 \quad \underline{\hspace{1cm}} \quad 20 \]

Étape 1 : Simplifier la première expression

• Dans la fraction, on remarque que \(19^2\) est facteur commun dans le numérateur : \[ \frac{19^2(1+19)}{19^2} = 1+19. \] Donc, la première expression devient \(1+19\).

Étape 2 : Décomposer la deuxième expression

• La fraction se décompose en deux termes : \[ \frac{19^2}{19^2}+\frac{19^3}{19^2} = 1+19. \]

Étape 3 : Simplifier \(1+19\)

• On a : \[ 1+19 = 20. \]

Conclusion :
Toutes les expressions valent \(20\).

Réponse g) :
\[ \frac{19^{2}+19^{3}}{19^{2}} = \frac{19^{2}}{19^{2}}+\frac{19^{3}}{19^{2}} = 1+19 = 20 \]

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Récapitulatif des réponses :

1. \(\displaystyle \frac{240}{480} = \frac{24 \times 10}{24 \times 20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}\).

2. \(\displaystyle \frac{24+90}{24+75} \neq \frac{90}{75} = \frac{6}{5}\).

3. \(\displaystyle \frac{24+24}{24+24+24} = \frac{24 \times 2}{24 \times 3} = \frac{2}{3}\).

4. \(\displaystyle \frac{145}{275} = \frac{29}{55}\).

5. \(\displaystyle \frac{19^{4}}{19^{2}} = \frac{19^{2} \times 19^{2}}{19^{2}} = 19^{2}\).

6. \(\displaystyle \frac{24+24+26}{24+26} \neq 24\).

7. \(\displaystyle \frac{19^{2}+19^{3}}{19^{2}} = \frac{19^{2}}{19^{2}}+\frac{19^{3}}{19^{2}} = 1+19 = 20\).

Chaque étape a permis de vérifier l’équivalence des expressions et de décider si l’égalité ou la non-égalité devait être placée entre elles.