Exercice 48

Exercice :

Trouve la fraction irréductible de chaque expression.

1. \(\frac{84}{63}=\)
   
2. \(\frac{4 \cdot 4}{4}=\)
   
3. \(\frac{4 + 4}{4}=\)
   
4. \(\frac{4 + 4 \cdot 4}{4}=\)
   
5. \(\frac{6 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 3 \cdot 2}=\)
   
6. \(\frac{6 + 4 + 3}{6 + 2}=\)
   
7. \(\frac{21 \cdot 8}{24 \cdot 7}=\)
   
8. \(\frac{49 \cdot 11}{22 \cdot 7}=\)

Réponse

Réponses : a) 4/3
b) 4
c) 2
d) 5
e) 2
f) 13/8
g) 1
h) 7/2

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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a) \(\frac{84}{63}\)

1. Identifier le facteur commun :
   Les deux nombres se divisent par 21, car
   \[ 84 = 21 \times 4 \quad \text{et} \quad 63 = 21 \times 3. \]

2. Réduire la fraction :
   On écrit : \[ \frac{84}{63} = \frac{21 \times 4}{21 \times 3} = \frac{4}{3}. \]

La fraction irréductible est donc \(\frac{4}{3}\).

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b) \(\frac{4 \cdot 4}{4}\)

1. Effectuer la multiplication au numérateur :
   \[ 4 \cdot 4 = 16. \]

2. Simplifier la fraction :
   \[ \frac{16}{4} = 4. \]

On peut aussi écrire \(4\) sous forme de fraction \(\frac{4}{1}\).

La fraction irréductible est \(4\).

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c) \(\frac{4 + 4}{4}\)

1. Effectuer la somme au numérateur :
   \[ 4 + 4 = 8. \]

2. Simplifier :
   \[ \frac{8}{4} = 2. \]

La fraction irréductible est \(2\) (ou \(\frac{2}{1}\)).

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d) \(\frac{4 + 4 \cdot 4}{4}\)

1. Respecter l’ordre des opérations :
   D’abord la multiplication : \[ 4 \cdot 4 = 16. \]

2. Ensuite l’addition :
   \[ 4 + 16 = 20. \]

3. Réaliser la division :
   \[ \frac{20}{4} = 5. \]

La fraction irréductible est \(5\) (ou \(\frac{5}{1}\)).

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e) \(\frac{6 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 3 \cdot 2}\)

1. Analyser numérateur et dénominateur :
   Le numérateur est : \[ 6 \cdot 4 \cdot 3. \] Le dénominateur est : \[ 6 \cdot 3 \cdot 2. \]

2. Simplifier par mise en évidence des facteurs communs :
   Les facteurs \(6\) et \(3\) sont présents en haut et en bas. On peut les annuler : \[ \frac{6 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 3 \cdot 2} = \frac{4}{2}. \]

3. Réaliser la division :
   \[ \frac{4}{2} = 2. \]

La fraction irréductible est \(2\).

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f) \(\frac{6 + 4 + 3}{6 + 2}\)

1. Calculer les sommes :
   Au numérateur : \[ 6 + 4 + 3 = 13. \]
   Au dénominateur : \[ 6 + 2 = 8. \]

2. Fraction obtenue : \[ \frac{13}{8}. \]

On ne peut simplifier davantage car 13 est premier et ne divise pas 8.

La fraction irréductible est \(\frac{13}{8}\).

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g) \(\frac{21 \cdot 8}{24 \cdot 7}\)

1. Mettre en évidence des facteurs communs :
   • Écrire \(21 = 3 \cdot 7\) et \(24 = 3 \cdot 8\).
     Ainsi, \[ \frac{21 \cdot 8}{24 \cdot 7} = \frac{(3 \cdot 7) \cdot 8}{(3 \cdot 8) \cdot 7}. \]
2. Annuler les facteurs communs :
   On peut annuler \(3\), \(7\) et \(8\) : \[ \frac{3 \cdot 7 \cdot 8}{3 \cdot 8 \cdot 7} = 1. \]

La fraction irréductible est \(1\) (ou \(\frac{1}{1}\)).

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h) \(\frac{49 \cdot 11}{22 \cdot 7}\)

1. Décomposer en facteurs premiers :
   • \(49\) se décompose en \(7 \cdot 7\).
     Ainsi, \[ \frac{49 \cdot 11}{22 \cdot 7} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 11}{22 \cdot 7}. \]
   • Remarquer que \(22 = 2 \cdot 11\).
2. Simplifier :
   Annuler un facteur \(7\) qui apparaît en haut et en bas : \[ \frac{7 \cdot \cancel{7} \cdot 11}{22 \cdot \cancel{7}} = \frac{7 \cdot 11}{22}. \] Puis, remarquer que \(11\) se retrouve dans le numérateur et dans \(22 = 2 \cdot 11\) au dénominateur, donc annuler \(11\) : \[ \frac{7 \cdot \cancel{11}}{2 \cdot \cancel{11}} = \frac{7}{2}. \]

La fraction irréductible est \(\frac{7}{2}\).

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Récapitulatif des réponses

• 1. \(\frac{84}{63} = \frac{4}{3}\)
• 2. \(\frac{4 \cdot 4}{4} = 4\)
• 3. \(\frac{4 + 4}{4} = 2\)
• 4. \(\frac{4 + 4 \cdot 4}{4} = 5\)
• 5. \(\frac{6 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 3 \cdot 2} = 2\)
• 6. \(\frac{6 + 4 + 3}{6 + 2} = \frac{13}{8}\)
• 7. \(\frac{21 \cdot 8}{24 \cdot 7} = 1\)
• 8. \(\frac{49 \cdot 11}{22 \cdot 7} = \frac{7}{2}\)

Chaque étape a permis de simplifier graduellement les expressions afin d’obtenir la forme la plus simple des fractions.