Complétez les espaces vides dans les expressions suivantes :
\(\dfrac{5}{3} = \dfrac{\square}{18} = \dfrac{25}{\square} = \dfrac{\ }{90} =\)
\(\dfrac{\ }{8} = \dfrac{\ }{8^{2}} = \dfrac{7}{\ } = 0,875\)
\(\dfrac{5^{2}}{80} = \dfrac{50}{\square} = \dfrac{5}{2\cdot 4\cdot \square} =\)
\(\dfrac{\ }{6} = \dfrac{6}{\square} = \dfrac{\ }{12} = 6\)
Réponses rapides :
Voici la correction détaillée de l’exercice :
\[ \frac{5}{3} = \frac{\square}{18} = \frac{25}{\square} = \frac{\ }{90} \]
Étape 1 :
On part de la fraction \(\frac{5}{3}\).
Pour obtenir une fraction équivalente avec le dénominateur 18, on
cherche un nombre à multiplier par 3 qui donne 18.
On a :
\[
3 \times 6 = 18
\] On multiplie donc le numérateur par 6 : \[
5 \times 6 = 30
\] On trouve ainsi : \[
\frac{5}{3} = \frac{30}{18}
\] Le premier emplacement se complète donc avec
30.
Étape 2 :
Pour écrire une fraction équivalente sous la forme \(\frac{25}{\square}\), on part de : \[
\frac{5}{3} = \frac{25}{x}
\] On utilise le produit en croix : \[
5 \times x = 25 \times 3 \quad \Longrightarrow \quad 5x = 75
\] Divisons par 5 : \[
x = \frac{75}{5} = 15
\] Le second emplacement se complète avec
15.
Étape 3 :
Pour obtenir \(\frac{\ }{90}\)
équivalent à \(\frac{5}{3}\), on
procède de la même manière.
Cherchons le numérateur \(y\) tel que :
\[
\frac{y}{90} = \frac{5}{3}
\] En multipliant les deux côtés par 90, on obtient : \[
y = \frac{5}{3} \times 90 = 5 \times 30 = 150
\] Le troisième emplacement se complète avec
150.
Conclusion pour a) : \[ \frac{5}{3} = \frac{30}{18} = \frac{25}{15} = \frac{150}{90} \]
\[ \frac{\ }{8} = \frac{\ }{8^{2}} = \frac{7}{\ } = 0,875 \]
La valeur décimale donnée est \(0,875\). Rappelons que : \[ 0,875 = \frac{7}{8} \] Nous allons compléter chaque espace en utilisant cette équivalence.
Étape 1 :
On cherche la fraction \(\frac{?}{8}\)
qui est égale à \(0,875 =
\frac{7}{8}\). Le numérateur doit donc être 7 :
\[
\frac{7}{8} = 0,875.
\]
Étape 2 :
La fraction \(\frac{\ }{8^{2}}\) doit
être équivalente à \(\frac{7}{8}\). On
sait que \(8^2 = 64\). On cherche alors
le numérateur \(z\) tel que : \[
\frac{z}{64} = \frac{7}{8}
\] On peut obtenir \(z\) en
multipliant \(7\) par \(8\) (puisque \(64
\div 8 = 8\)) : \[
z = 7 \times 8 = 56
\] Le second espace se complète avec 56.
Étape 3 :
Pour la fraction \(\frac{7}{\ }\) égale
à \(0,875\), cherchons le dénominateur
\(w\) tel que : \[
\frac{7}{w} = \frac{7}{8}
\] Ici, il est évident que \(w =
8\).
Conclusion pour b) : \[ \frac{7}{8} = \frac{56}{64} = \frac{7}{8} = 0,875 \]
\[ \frac{5^{2}}{80} = \frac{50}{\square} = \frac{5}{2\cdot 4\cdot \square} \]
Étape 1 :
Calculons la fraction initiale : \[
\frac{5^2}{80} = \frac{25}{80}
\] On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 5 :
\[
\frac{25}{80} = \frac{5}{16}
\] Donc, notre valeur de référence est \(\frac{5}{16}\).
Étape 2 :
Pour compléter \(\frac{50}{\square}\)
équivalent à \(\frac{5}{16}\),
cherchons \(x\) tel que : \[
\frac{50}{x} = \frac{5}{16}
\] En multipliant en croix : \[
50 \times 16 = 5 \times x \quad \Longrightarrow \quad 800 = 5x
\] Divisons par 5 : \[
x = \frac{800}{5} = 160
\] Le premier blanc se complète avec 160.
Étape 3 :
Pour compléter la fraction \(\frac{5}{2\cdot
4\cdot \square}\), nous cherchons \(y\) tel que : \[
\frac{5}{2 \cdot 4 \cdot y} = \frac{5}{16}
\] Calculons le dénominateur initial : \[
2 \cdot 4 = 8, \quad \text{donc} \quad \frac{5}{8y} = \frac{5}{16}
\] Pour que ces fractions soient égales, il faut que : \[
8y = 16 \quad \Longrightarrow \quad y = \frac{16}{8} = 2
\] Le second blanc se complète avec 2.
Conclusion pour c) : \[ \frac{25}{80}=\frac{50}{160}=\frac{5}{2\cdot4\cdot2}=\frac{5}{16} \]
\[ \frac{\ }{6} = \frac{6}{\square} = \frac{\ }{12} = 6 \]
On cherche des fractions équivalentes à 6.
Étape 1 :
Pour la fraction \(\frac{?}{6}=6\), on
a : \[
\frac{?}{6} = 6 \quad \Longrightarrow \quad ? = 6 \times 6 = 36
\] Le premier espace se complète avec 36.
Étape 2 :
Pour la fraction \(\frac{6}{\square}=6\), cherchons le
dénominateur \(x\) tel que : \[
\frac{6}{x} = 6 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{6}{6} = 1
\] Le deuxième espace se complète avec 1.
Étape 3 :
Pour la fraction \(\frac{?}{12}=6\), on
a : \[
\frac{?}{12} = 6 \quad \Longrightarrow \quad ? = 6 \times 12 = 72
\] Le troisième espace se complète avec 72.
Conclusion pour d) : \[ \frac{36}{6} = \frac{6}{1} = \frac{72}{12} = 6 \]
a) \(\displaystyle
\frac{5}{3} = \frac{30}{18} = \frac{25}{15} =
\frac{150}{90}\)
b) \(\displaystyle
\frac{7}{8} = \frac{56}{64} = \frac{7}{8} = 0,875\)
c) \(\displaystyle
\frac{25}{80} = \frac{50}{160} = \frac{5}{2\cdot 4\cdot
2}\)
d) \(\displaystyle
\frac{36}{6} = \frac{6}{1} = \frac{72}{12} = 6\)
Chaque étape a été pensée pour obtenir des fractions équivalentes, en multipliant ou divisant le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Ces méthodes assurent que la fraction conserve sa valeur initiale.