Exercice
Complétez chaque case du tableau ci-dessous lorsque cela est possible.
| Nombre | Écriture décimale | Dénominateur (10 ou puissance de 10) | Fraction irréductible | Amplification par 3 de la fraction irréductible | Pour cent |
|---|---|---|---|---|---|
| a | \(\frac{5}{12}\) | ||||
| b | \(60\,\%\) | ||||
| c | \(\frac{800}{100}\) | ||||
| d | \(1,25\) | \(\frac{5}{4}\) | |||
| e | \(0,\overline{6}\) | ||||
| f | |||||
| g | \(0,\overline{8}\) | ||||
| i | |||||
| j |
Réponses très synthétiques :
• Ligne a : 0,41‾6 ; fraction 5/12 ; amplification 5/4 ; 41,6‾6 % • Ligne b : 0,6 ; fraction 3/5 ; amplification 9/5 ; 60 % • Ligne c : 8 ; fraction 8/1 ; amplification 24/1 ; 800 % • Ligne d : 1,25 ; fraction 5/4 ; amplification 15/4 ; 125 % • Ligne e : 0,‾6 ; fraction 2/3 ; amplification 2/1 ; 66,6‾6 % • Ligne f : aucune donnée • Ligne g : 0,‾8 ; fraction 8/9 ; amplification 8/3 ; 88,8‾8 % • Lignes i et j : aucune donnée
Nous allons compléter les cases du tableau en utilisant les informations données pour chaque ligne. Pour chacune, nous allons :
Nous expliquerons chaque cas en détail.
On sait que la fraction irréductible est
\[
\frac{5}{12}.
\]
1. Écriture décimale :
Calculons \(\frac{5}{12}\).
La division \(5 \div 12\) donne :
\[
\frac{5}{12} = 0,41666\ldots
\] On peut noter ce résultat en écriture décimale répétitive sous
la forme
\[
0,41\overline{6}.
\]
2. Dénominateur sous forme 10 ou puissance de 10
:
Une écriture décimale finie s’obtient lorsque la fraction a pour
dénominateur un nombre de la forme \(2^m
\times 5^n\). Ici, \(12 = 2^2 \times
3\) contient un facteur autre que 2 et 5, donc l’écriture
décimale est non finie.
On écrit alors que la représentation avec un dénominateur 10,
100, … n’est pas possible.
3. Fraction irréductible :
Déjà donnée :
\[
\frac{5}{12}.
\]
4. Amplification par 3 :
On multiplie la fraction par 3 :
\[
\frac{5}{12} \times 3 = \frac{15}{12}.
\] On simplifie cette fraction en divisant numérateur et
dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ici 3 :
\[
\frac{15 \div 3}{12 \div 3} = \frac{5}{4}.
\]
5. Pour cent :
Pour trouver le pour cent, on calcule
\[
\frac{5}{12} \times 100 = 41,6\overline{6}\%.
\]
Résumé pour la ligne a :
| Nombre | Écriture décimale | Dénominateur (10 ou puissance de 10) | Fraction irréductible | Amplification par 3 de la fraction irréductible | Pour cent |
|---|---|---|---|---|---|
| a | \(0,41\overline{6}\) | Non possible | \(\frac{5}{12}\) | \(\frac{5}{4}\) | \(41,6\overline{6}\%\) |
On connaît le pour cent :
\[
60\%.
\]
1. Écriture décimale :
60 % signifie
\[
60\% = \frac{60}{100} = 0,6.
\]
2. Dénominateur sous forme 10 ou puissance de 10
:
La décimale \(0,6\) s’écrit exactement
sous la forme
\[
0,6 = \frac{6}{10}.
\]
3. Fraction irréductible :
On simplifie
\[
\frac{6}{10} \quad \text{divisant numérateur et dénominateur par 2}
\quad \Rightarrow \quad \frac{3}{5}.
\]
4. Amplification par 3 :
Multiplier la fraction irréductible par 3 :
\[
\frac{3}{5} \times 3 = \frac{9}{5}.
\]
5. Pour cent :
Déjà donné : \(60\%\).
Résumé pour la ligne b :
| Nombre | Écriture décimale | Dénominateur (10 ou puissance de 10) | Fraction irréductible | Amplification par 3 de la fraction irréductible | Pour cent |
|---|---|---|---|---|---|
| b | \(0,6\) | \(\frac{6}{10}\) (dénominateur 10) | \(\frac{3}{5}\) | \(\frac{9}{5}\) | \(60\%\) |
On connaît la case « Dénominateur » qui indique :
\[
\frac{800}{100}.
\]
1. Écriture décimale / Nombre :
\(\frac{800}{100} = 8.\)
On en déduit que le nombre considéré est 8.
2. Fraction irréductible :
8 s’écrit en fraction sous forme irréductible par
\[
8 = \frac{8}{1}.
\]
3. Amplification par 3 :
Multiplier par 3 :
\[
\frac{8}{1} \times 3 = \frac{24}{1}.
\]
4. Pour cent :
Convertir 8 en pour cent :
\[
8 \times 100\% = 800\%.
\]
Résumé pour la ligne c :
| Nombre | Écriture décimale | Dénominateur (10 ou puissance de 10) | Fraction irréductible | Amplification par 3 de la fraction irréductible | Pour cent |
|---|---|---|---|---|---|
| c | \(8\) | \(\frac{800}{100}\) | \(\frac{8}{1}\) | \(\frac{24}{1}\) | \(800\%\) |
Les données données sont :
- Écriture décimale : \(1,25\)
- Fraction irréductible : \(\frac{5}{4}\).
1. Dénominateur sous forme 10 ou puissance de 10
:
On écrit le nombre \(1,25\) sous forme
de fraction avec un dénominateur de 100 :
\[
1,25 = \frac{125}{100}.
\]
2. Amplification par 3 :
Multiplier la fraction irréductible par 3 :
\[
\frac{5}{4} \times 3 = \frac{15}{4}.
\]
3. Pour cent :
Conversion en pour cent donne :
\[
1,25 \times 100\% = 125\%.
\]
Résumé pour la ligne d :
| Nombre | Écriture décimale | Dénominateur (10 ou puissance de 10) | Fraction irréductible | Amplification par 3 de la fraction irréductible | Pour cent |
|---|---|---|---|---|---|
| d | \(1,25\) | \(\frac{125}{100}\) | \(\frac{5}{4}\) | \(\frac{15}{4}\) | \(125\%\) |
Les données données sont :
- Écriture décimale : \(0,\overline{6}\).
1. Fraction irréductible :
On rappelle que
\[
0,\overline{6} = 0,6666\ldots = \frac{2}{3}.
\]
2. Dénominateur sous forme 10 ou puissance de 10
:
Ici, l’écriture décimale est répétitive (non finie), donc elle
ne s’exprime pas exactement avec un dénominateur de la forme 10, 100,
….
3. Amplification par 3 :
Multiplier la fraction irréductible par 3 :
\[
\frac{2}{3} \times 3 = \frac{6}{3} = \frac{2}{1}.
\]
4. Pour cent :
Convertir \(0,\overline{6}\) en pour
cent :
\[
0,6666\ldots \times 100\% = 66,6\overline{6}\%.
\]
Résumé pour la ligne e :
| Nombre | Écriture décimale | Dénominateur (10 ou puissance de 10) | Fraction irréductible | Amplification par 3 de la fraction irréductible | Pour cent |
|---|---|---|---|---|---|
| e | \(0,\overline{6}\) | Non possible | \(\frac{2}{3}\) | \(\frac{2}{1}\) | \(66,6\overline{6}\%\) |
Aucune information n’est fournie pour cette ligne.
Sans indication (ni en écriture décimale, ni en fraction, ni en pour
cent), on ne peut pas compléter les cases de manière
certaine pour la ligne f.
Les données données sont :
- Écriture décimale : \(0,\overline{8}\).
1. Fraction irréductible :
On détermine que
\[
0,\overline{8} = 0,8888\ldots = \frac{8}{9}.
\]
2. Dénominateur sous forme 10 ou puissance de 10
:
L’écriture décimale est répétitive et ne permet pas une représentation
exacte avec un dénominateur de la forme 10, 100, …
Nous indiquons alors que cette écriture n’est pas
possible avec un dénominateur « 10 ou puissance de 10 ».
3. Amplification par 3 :
Multiplier la fraction irréductible par 3 :
\[
\frac{8}{9} \times 3 = \frac{24}{9}.
\] On simplifie en divisant numérateur et dénominateur par 3
:
\[
\frac{24 \div 3}{9 \div 3} = \frac{8}{3}.
\]
4. Pour cent :
Convertir \(0,\overline{8}\) en pour
cent donne :
\[
0,8888\ldots \times 100\% = 88,8\overline{8}\%.
\]
Résumé pour la ligne g :
| Nombre | Écriture décimale | Dénominateur (10 ou puissance de 10) | Fraction irréductible | Amplification par 3 de la fraction irréductible | Pour cent |
|---|---|---|---|---|---|
| g | \(0,\overline{8}\) | Non possible | \(\frac{8}{9}\) | \(\frac{8}{3}\) | \(88,8\overline{8}\%\) |
Aucune donnée n’est fournie pour les lignes i et j.
Sans indication sur le nombre (écriture décimale, fraction ou
pour cent), il n’est pas possible de compléter ces lignes.
| Nombre | Écriture décimale | Dénominateur (10 ou puissance de 10) | Fraction irréductible | Amplification par 3 de la fraction irréductible | Pour cent |
|---|---|---|---|---|---|
| a | 0,41𝟞 (0,41‾6) | Non possible | 5/12 | 5/4 | 41,6‾6 % |
| b | 0,6 | 6/10 | 3/5 | 9/5 | 60 % |
| c | 8 | 800/100 | 8/1 | 24/1 | 800 % |
| d | 1,25 | 125/100 | 5/4 | 15/4 | 125 % |
| e | 0,6‾ (0,‾6) | Non possible | 2/3 | 2/1 | 66,6‾6 % |
| f | - | - | - | - | - |
| g | 0,8‾ (0,‾8) | Non possible | 8/9 | 8/3 | 88,8‾8 % |
| i | - | - | - | - | - |
| j | - | - | - | - | - |
(Remarque : Pour les lignes f, i et j, aucune donnée n’ayant été fournie, il n’est pas possible de compléter les cases.)
Ainsi, nous avons complété les différents convertissements pour les lignes où des informations étaient données, en expliquant pas à pas comment passer d’une écriture à l’autre.