Exercice 1.
Pour chacune des opérations suivantes, propose un problème du quotidien
dont la solution correspond au calcul indiqué :
a) \(\frac{3}{4} \cdot
\frac{2}{5}\)
b) \(\frac{3}{4} + \frac{2}{5}\)
c) \(\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}\)
Exercice 2.
Lors d’une collecte de fonds, 75 % des dons proviennent de particuliers
et 25 % de commerçants. Parmi les dons des particuliers, 60 % sont
effectués en espèces. Calculer le pourcentage du montant total des dons
qui a été réalisé en espèces par les particuliers.
Voici ci-dessous une correction détaillée des exercices, avec une explication pas à pas en français :
Pour chaque opération, nous allons proposer un problème issu de situations quotidiennes dont le calcul correspond à l’opération indiquée.
Calcul :
Nous multiplions les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Ainsi : \[ \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{4 \times 5} = \frac{6}{20}. \] Cette fraction peut être simplifiée en divisant numérateur et dénominateur par 2 : \[ \frac{6}{20} = \frac{3}{10}. \]
Problème suggéré :
« Supposons que tu as un gâteau entier. Tu coupes ce gâteau en 4 parts égales et tu prends 3 parts (\(\frac{3}{4}\) du gâteau). Ensuite, tu souhaites partager ces 3 parts avec un ami en ne lui donnant que \(\frac{2}{5}\) de ce que tu as. Quelle fraction du gâteau ton ami va-t-il obtenir ? »
Explication :
Ici, \(\frac{3}{4}\) représente la
portion de gâteau initiale et \(\frac{2}{5}\) le pourcentage de cette
portion donnée à l’ami. Pour connaître la part effective du gâteau
donnée à l’ami, on effectue le calcul \(\frac{3}{4} \times \frac{2}{5} =
\frac{3}{10}\).
Calcul :
Pour additionner deux fractions, il faut d’abord trouver un dénominateur commun. Ici, les dénominateurs 4 et 5 ont pour plus petit commun multiple 20.
Convertissons \(\frac{3}{4}\) en
une fraction sur 20 :
\[
\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}.
\]
Convertissons \(\frac{2}{5}\) en
une fraction sur 20 :
\[
\frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}.
\]
Additionnons les fractions converties : \[ \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{15+8}{20} = \frac{23}{20} = 1\frac{3}{20}. \]
Problème suggéré :
« Alice parcourt \(\frac{3}{4}\) de kilomètre en marchant jusqu’à l’arrêt de bus, puis elle continue en vélo sur \(\frac{2}{5}\) de kilomètre pour rejoindre sa destination. Combien de kilomètres parcourt-elle au total ? »
Explication :
Ici, on additionne la distance parcourue à pied et la distance parcourue
en vélo. Le calcul \(\frac{3}{4} +
\frac{2}{5}\) donne la distance totale parcourue, soit \(\frac{23}{20}\) kilomètres ou \(1\frac{3}{20}\) kilomètres.
Calcul :
Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse. Ainsi : \[ \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}. \]
Problème suggéré :
« Imaginons que tu as \(\frac{3}{4}\) d’un litre de jus et que tu souhaites le répartir dans des verres, chacun pouvant contenir \(\frac{2}{5}\) d’un litre. Combien de verres peux-tu remplir complètement avec ton jus ? »
Explication :
Ici, la division \(\frac{3}{4} \div
\frac{2}{5}\) permet de déterminer le nombre de verres remplis.
Le résultat \(\frac{15}{8}\) ou \(1\frac{7}{8}\) signifie qu’on peut remplir
un verre complètement et presque un deuxième (avec une quantité
équivalente à \(\frac{7}{8}\) d’un
verre).
Énoncé :
Lors d’une collecte de fonds, 75 % des dons proviennent de particuliers
et 25 % de commerçants. Parmi les dons des particuliers, 60 % sont
effectués en espèces. Calculer le pourcentage du montant total des dons
qui a été réalisé en espèces par les particuliers.
Étapes de la résolution :
Identifier la part des dons des particuliers
:
Les dons des particuliers constituent 75 % du total.
Calculer la fraction des dons en espèces parmi les
particuliers :
Parmi ces 75 %, 60 % sont faits en espèces. Ce pourcentage se calcule en
multipliant : \[
75\% \times 60\%.
\]
Effectuer le calcul en pourcentages :
Pour multiplier des pourcentages, on peut soit transformer en décimaux,
soit calculer directement : \[
75\% = 0,75 \quad \text{et} \quad 60\% = 0,60.
\] Ainsi : \[
0,75 \times 0,60 = 0,45.
\] En pourcentage, cela revient à : \[
0,45 \times 100 = 45\%.
\]
Réponse :
45 % du montant total des dons correspond aux dons en espèces effectués
par les particuliers.
Explication :
La clé du problème est de remarquer qu’il faut appliquer le pourcentage
des dons en espèces aux dons provenant uniquement des particuliers. En
multipliant \(75\%\) par \(60\%\), nous obtenons \(45\%\) qui représente la part des dons
totaux faits en espèces par les particuliers.
Ainsi, la correction complète des exercices est :