Exercice 40

Question: Julien réalise un quart de ses exercices le matin, puis un cinquième l’après-midi avant le repas; le reste est effectué après le repas.

1. Quelle fraction de ses exercices effectue-t-il après le repas ?

2. Si les exercices d’algèbre représentent les deux tiers des exercices réalisés le matin, quelle fraction de l’ensemble de ses exercices correspondent aux exercices d’algèbre ?

Réponse

Réponses : 1. Après le repas : 11/20 des exercices. 2. Algèbre : 1/6 des exercices.

Corrigé détaillé

Nous allons raisonner étape par étape pour résoudre chacune des questions.

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1. Fraction des exercices effectués après le repas

On sait que Julien effectue :

• \(\frac{1}{4}\) de ses exercices le matin,
• \(\frac{1}{5}\) de ses exercices l’après-midi.

Le reste des exercices est fait après le repas. Pour connaître cette fraction, il faut d’abord trouver la somme des fractions effectuées le matin et l’après-midi, puis la soustraire de 1 (l’ensemble des exercices).

1. Calcul de la somme des fractions du matin et de l’après-midi :

   \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \]

   Pour additionner ces fractions, il faut un dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun entre 4 et 5 est 20. Ainsi, on transforme :

   \[ \frac{1}{4} = \frac{5}{20} \quad \text{et} \quad \frac{1}{5} = \frac{4}{20} \]

   Ensuite :

   \[ \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20} \]

2. Calcul de la fraction des exercices effectués après le repas :

   Puisque l’ensemble des exercices correspond à 1 (ce qui s’écrit aussi \(\frac{20}{20}\)), on a :

   \[ 1 - \frac{9}{20} = \frac{20}{20} - \frac{9}{20} = \frac{11}{20} \]

Réponse de la première question : Julien effectue \(\frac{11}{20}\) de ses exercices après le repas.

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2. Fraction des exercices d’algèbre

On nous précise que les exercices d’algèbre représentent les deux tiers des exercices réalisés le matin. On sait que Julien fait \(\frac{1}{4}\) de tous ses exercices le matin.

1. On calcule la fraction correspondant aux exercices d’algèbre :

   \[ \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \]

   Pour multiplier ces fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

   \[ \frac{2 \times 1}{3 \times 4} = \frac{2}{12} \]

2. On simplifie la fraction \(\frac{2}{12}\) en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 :

   \[ \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6} \]

Réponse de la deuxième question : Les exercices d’algèbre représentent \(\frac{1}{6}\) de l’ensemble des exercices de Julien.

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Conclusion

1. Fraction des exercices après le repas : \(\frac{11}{20}\).
   
2. Fraction des exercices d’algèbre : \(\frac{1}{6}\).