Exercice 36

Exercice

Quatre personnes effectuent la division suivante : \[ \frac{18}{6} \div \frac{3}{9}. \] Leurs démarches sont les suivantes :

• Maurice et Gilles : \[ \frac{18}{6} \div \frac{3}{9} = \frac{18}{6} \times \frac{9}{3} = \frac{162}{18} = 9. \]

• Jean-Michel : \[ \frac{18}{6} \div \frac{3}{9} = \frac{18}{6} \times \frac{9}{3} = \frac{3}{1} \times \frac{3}{1} = 9. \]

• Serge présente une démarche différente (non détaillée).

Qui a raison ?

Réponse

La réponse finale de l’exercice est 9.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé :

On souhaite calculer
\[ \frac{18}{6} \div \frac{3}{9}. \]

Rappel de la méthode :

Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie par l’inverse de la deuxième fraction. La formule est :
\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}. \]

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Application à l’exercice :

1. Identifier les fractions :
   La première fraction est \(\frac{18}{6}\) et la deuxième est \(\frac{3}{9}\).

2. Multiplication par l’inverse :
   On écrit
   \[ \frac{18}{6} \div \frac{3}{9} = \frac{18}{6} \times \frac{9}{3}. \]

3. Simplifier chaque fraction avant de multiplier :

   • Pour \(\frac{18}{6}\) :
     \[ \frac{18}{6} = 3, \] car \(18 \div 6 = 3\).
   • Pour \(\frac{9}{3}\) :
     \[ \frac{9}{3} = 3, \] car \(9 \div 3 = 3\).

4. Effectuer la multiplication :
   On obtient alors
   \[ 3 \times 3 = 9. \]

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Comparaison des démarches :

• Maurice et Gilles utilisent directement la méthode de multiplication par l’inverse en écrivant
  \[ \frac{18}{6} \times \frac{9}{3} = \frac{162}{18} = 9. \] En effet, on peut remarquer que \(\frac{18 \times 9}{6 \times 3} = \frac{162}{18}\) et, en simplifiant, on retrouve \(9\).

• Jean-Michel décompose \(\frac{18}{6}\) et \(\frac{9}{3}\) en fractions simplifiées :
  \[ \frac{18}{6} = \frac{3}{1} \quad \text{et} \quad \frac{9}{3} = \frac{3}{1}. \] Puis il effectue la multiplication :
  \[ \frac{3}{1} \times \frac{3}{1} = \frac{9}{1} = 9. \]

• Serge réalise une démarche différente mais sans détails. Comme la méthode classique et la règle de la division sont appliquées dans les démarches de Maurice, Gilles et Jean-Michel, et puisque le résultat final est identique (\(9\)), on peut conclure que la démarche correcte est celle qui donne \(9\).

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Conclusion :

Les démarches de Maurice, Gilles et Jean-Michel sont correctes car elles aboutissent au même résultat final en appliquant correctement la méthode de la division de fractions. Par conséquent, ces trois personnes ont raison.
Quant à Serge, sans détail, on ne peut pas vérifier sa méthode, mais le résultat attendu est \(9\).

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Ainsi, la bonne réponse à l’exercice est :
\[ \frac{18}{6} \div \frac{3}{9} = 9. \]