Exercice 35
Exercice :
Utilisez les égalités suivantes pour effectuer les calculs :
\[
\begin{array}{ll}
\left(+\frac{3}{4}\right) : (+8) = \left(+\frac{3}{4}\right) \cdot
\left(+\frac{1}{8}\right) = \left(+\frac{3}{32}\right)
& \quad
\left(-\frac{3}{4}\right) : (+8) = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot
\left(+\frac{1}{8}\right) = \left(-\frac{3}{32}\right) \\
\left(+\frac{3}{4}\right) : (-8) = \left(+\frac{3}{4}\right) \cdot
\left(-\frac{1}{8}\right) = \left(-\frac{3}{32}\right)
& \quad
\left(-\frac{3}{4}\right) : (-8) = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot
\left(-\frac{1}{8}\right) = \left(+\frac{3}{32}\right)
\end{array}
\]
À l’aide de ces égalités, trouvez le résultat de chaque calcul :
\(\left(+\frac{3}{4}\right) :
(-16)\)
\(\left(+\frac{5}{7}\right) :
(+21)\)
\((-8) : (-32)\)
\((+20) : (-0,25)\)
\(\left(-\frac{15}{4}\right) :
(+5)\)
\((+3) :
\left(-\frac{3}{5}\right)\)
\((-4) : (-32)\)
\((+15) : (-250)\)
Réponse
Réponses : a) –3/64, b) 5/147, c) 1/4, d) –80, e) –3/4, f) –5, g)
1/8, h) –3/50.
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de chacun des calculs.
Rappel général
Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse
multiplicatif.
Par exemple, pour calculer
\[
\frac{a}{b} \div c = \frac{a}{b} \times \frac{1}{c}\,.
\]
Si \(c\) est négatif, l’inverse
\(\frac{1}{c}\) est également négatif.
Nous appliquerons cela pour chacun des exercices.
a) Calcul de \(\left(+\frac{3}{4}\right) : (-16)\)
Étapes :
- On écrit la division comme une multiplication par l’inverse : \[
\left(+\frac{3}{4}\right) \div (-16)= \frac{3}{4} \times
\frac{1}{-16}\,.
\]
- Multiplier les numérateurs et les dénominateurs : \[
\frac{3}{4} \times \frac{1}{-16} = \frac{3 \times 1}{4 \times (-16)} =
\frac{3}{-64}\,.
\]
- En mettant le signe devant : \[
\frac{3}{-64}= -\frac{3}{64}\,.
\]
Réponse a):
\[
-\frac{3}{64}
\]
b) Calcul de \(\left(+\frac{5}{7}\right) : (+21)\)
Étapes :
- Écrire la division comme une multiplication par le multiplicatif
inverse de 21 : \[
\frac{5}{7} \div 21 = \frac{5}{7} \times \frac{1}{21}\,.
\]
- Multiplier : \[
\frac{5}{7} \times \frac{1}{21} = \frac{5}{7 \times 21} =
\frac{5}{147}\,.
\]
Le résultat ne se simplifie pas davantage.
Réponse b):
\[
\frac{5}{147}
\]
c) Calcul de \((-8) : (-32)\)
Étapes :
- Transformer la division en multiplication par l’inverse : \[
-8 \div (-32)= -8 \times \frac{1}{-32}\,.
\]
- On effectue le produit des signes :
Un nombre négatif multiplié par un nombre négatif donne un nombre
positif.
- Calculer : \[
-8 \times \left(-\frac{1}{32}\right)= \frac{8}{32}\,.
\]
- Simplifier la fraction : \[
\frac{8}{32}= \frac{1}{4}\,.
\]
Réponse c):
\[
\frac{1}{4}
\]
d) Calcul de \((+20) : (-0,25)\)
Étapes :
- Remarquer que \(-0,25\) peut
s’écrire sous forme fractionnaire : \[
-0,25 = -\frac{1}{4}\,.
\]
- Écrire la division en terme de multiplication par l’inverse : \[
20 \div \left(-\frac{1}{4}\right) = 20 \times \left(-4\right)\,.
\]
- Calculer : \[
20 \times (-4)= -80\,.
\]
Réponse d):
\[
-80
\]
e) Calcul de \(\left(-\frac{15}{4}\right) : (+5)\)
Étapes :
- Écrire la division comme une multiplication par l’inverse : \[
\left(-\frac{15}{4}\right) \div 5 = \left(-\frac{15}{4}\right) \times
\frac{1}{5}\,.
\]
- Multiplier : \[
-\frac{15}{4} \times \frac{1}{5} = -\frac{15}{20}\,.
\]
- Simplifier la fraction en divisant numérateur et dénominateur par 5
: \[
-\frac{15 \div 5}{20 \div 5} = -\frac{3}{4}\,.
\]
Réponse e):
\[
-\frac{3}{4}
\]
f) Calcul de \((+3) : \left(-\frac{3}{5}\right)\)
Étapes :
- Ecrire la division sous forme de multiplication par l’inverse :
\[
3 \div \left(-\frac{3}{5}\right)= 3 \times \left(-\frac{5}{3}\right)\,.
\]
- Effectuer le produit : \[
3 \times \left(-\frac{5}{3}\right) = -5\,.
\] La multiplication se simplifie puisque 3 dans le numérateur et
3 dans le dénominateur s’annulent.
Réponse f):
\[
-5
\]
g) Calcul de \((-4) : (-32)\)
Étapes :
- Transformer la division en multiplication par l’inverse : \[
-4 \div (-32)= -4 \times \frac{1}{-32}\,.
\]
- Multiplier les signes : Un nombre négatif multiplié par un nombre
négatif donne un nombre positif.
- Calculer : \[
-4 \times \left(-\frac{1}{32}\right)= \frac{4}{32}\,.
\]
- Simplifier : \[
\frac{4}{32}= \frac{1}{8}\,.
\]
Réponse g):
\[
\frac{1}{8}
\]
h) Calcul de \((+15) : (-250)\)
Étapes :
- Écrire la division comme une multiplication par l’inverse : \[
15 \div (-250)= 15 \times \frac{1}{-250}\,.
\]
- Calculer : \[
15 \times \frac{1}{-250} = -\frac{15}{250}\,.
\]
- Simplifier la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur
par 5 : \[
-\frac{15 \div 5}{250 \div 5} = -\frac{3}{50}\,.
\]
Réponse h):
\[
-\frac{3}{50}
\]
Résumé des réponses
- \(-\frac{3}{64}\)
- \(\frac{5}{147}\)
- \(\frac{1}{4}\)
- \(-80\)
- \(-\frac{3}{4}\)
- \(-5\)
- \(\frac{1}{8}\)
- \(-\frac{3}{50}\)
Chaque calcul a été effectué en multipliant par
l’inverse du diviseur, en prenant soin de bien suivre
les règles de signes et de simplifier les fractions le cas échéant.