Exercice 34

Exercice

Pour chaque nombre, déterminez son inverse :

1. \(12\)
   
2. \(-17\)
   
3. \(-0,04\)
   
4. \(1\)
   
5. \(\frac{35}{8}\)
   
6. \(\frac{-4}{7}\)
   
7. \(\sqrt{9}\)
   
8. \(b\)

Réponse

1. 1/12
   
2. -1/17
   
3. -25
   
4. 1
   
5. 8/35
   
6. -7/4
   
7. 1/3
   
8. 1/b (pour b ≠ 0)

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de l’exercice.

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Rappel :
L’inverse (ou l’inverse multiplicatif) d’un nombre non nul \(a\) est le nombre (noté \(a^{-1}\) ou \(\frac{1}{a}\)) tel que \[ a \times \frac{1}{a} = 1. \] Nous allons déterminer l’inverse pour chaque nombre proposé.

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a) Pour le nombre \(12\)

Nous cherchons un nombre \(x\) tel que : \[ 12 \times x = 1. \] D’où, en isolant \(x\), nous trouvons : \[ x = \frac{1}{12}. \] L’inverse de \(12\) est donc \(\frac{1}{12}\).

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b) Pour le nombre \(-17\)

Ici, nous voulons trouver \(x\) tel que : \[ -17 \times x = 1. \] En isolant \(x\), nous obtenons : \[ x = \frac{1}{-17} = -\frac{1}{17}. \] L’inverse de \(-17\) est \(-\frac{1}{17}\).

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c) Pour le nombre \(-0,04\)

On peut remarquer que \(-0,04\) correspond à \(-\frac{4}{100}\) qui se simplifie en : \[ -\frac{1}{25}. \] L’inverse de \(-0,04\) est le nombre \(x\) tel que : \[ -0,04 \times x = 1 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{1}{-0,04}. \] En effectuant le calcul, nous trouvons : \[ x = -25. \] L’inverse de \(-0,04\) est \(-25\).

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d) Pour le nombre \(1\)

Ici, nous cherchons \(x\) tel que : \[ 1 \times x = 1. \] Il est évident que : \[ x = 1. \] L’inverse de \(1\) est \(1\).

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e) Pour le nombre \(\frac{35}{8}\)

Nous voulons déterminer \(x\) tel que : \[ \frac{35}{8} \times x = 1. \] En isolant \(x\), on a : \[ x = \frac{1}{\frac{35}{8}}. \] Se rappeler que diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse, donc : \[ x = \frac{8}{35}. \] L’inverse de \(\frac{35}{8}\) est \(\frac{8}{35}\).

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f) Pour le nombre \(\frac{-4}{7}\)

Nous cherchons \(x\) tel que : \[ \frac{-4}{7} \times x = 1. \] D’où, \[ x = \frac{1}{\frac{-4}{7}} = \frac{7}{-4} = -\frac{7}{4}. \] L’inverse de \(\frac{-4}{7}\) est \(-\frac{7}{4}\).

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g) Pour \(\sqrt{9}\)

Calculons d’abord \(\sqrt{9}\) : \[ \sqrt{9} = 3. \] Nous cherchons alors \(x\) tel que : \[ 3 \times x = 1. \] D’où, \[ x = \frac{1}{3}. \] L’inverse de \(\sqrt{9}\) (donc de \(3\)) est \(\frac{1}{3}\).

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h) Pour le nombre \(b\)

Ici, \(b\) représente une variable non nulle.
L’inverse de \(b\) est le nombre \(x\) tel que : \[ b \times x = 1. \] Il suffit donc de poser : \[ x = \frac{1}{b}. \] L’inverse de \(b\) est \(\frac{1}{b}\) (à condition que \(b \neq 0\)).

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Résumé des réponses :

1. \(\frac{1}{12}\)
   
2. \(-\frac{1}{17}\)
   
3. \(-25\)
   
4. \(1\)
   
5. \(\frac{8}{35}\)
   
6. \(-\frac{7}{4}\)
   
7. \(\frac{1}{3}\)
   
8. \(\frac{1}{b}\) (pour \(b \neq 0\))

Cette démarche montre comment, pour chaque nombre, on trouve un nombre qui, multiplié par l’original, donne \(1\).