Question: Utilise les égalités suivantes pour déduire une règle permettant de diviser des fractions :
\[ \frac{3}{5} : 2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10} \]
\[ \frac{5}{6} : \frac{7}{8} = \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{7} = \frac{40}{42} = \frac{20}{21} \]
Pour diviser une fraction par une autre, il suffit de multiplier la première fraction par l’inverse (réciproque) de la seconde. Par exemple, (5/6) ÷ (7/8) = (5/6) × (8/7) = 20/21.
Nous allons démontrer comment diviser des fractions en utilisant les égalités données.
Prenons d’abord l’exemple suivant :
\[ \frac{3}{5} : 2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{10}. \]
Ici, diviser la fraction \(\frac{3}{5}\) par 2 revient à multiplier \(\frac{3}{5}\) par \(\frac{1}{2}\). En d’autres termes, diviser par 2 c’est le même que multiplier par son inverse, qui est \(\frac{1}{2}\).
Prenons ensuite le second exemple :
\[ \frac{5}{6} : \frac{7}{8} = \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{7} = \frac{40}{42} = \frac{20}{21}. \]
Ici, diviser \(\frac{5}{6}\) par \(\frac{7}{8}\) revient à multiplier \(\frac{5}{6}\) par le réciproque de \(\frac{7}{8}\), c’est-à-dire \(\frac{8}{7}\).
D’après ces exemples, nous pouvons déduire la règle suivante :
\[ \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}. \]
Autrement dit, pour diviser une fraction par une autre fraction, on multiplie la première fraction par l’inverse (ou le réciproque) de la seconde.
Étape 1 : Identifier la fraction à diviser, ici \(\frac{a}{b}\).
Étape 2 : Identifier le diviseur, ici \(\frac{c}{d}\).
Étape 3 : Trouver l’inverse du diviseur, c’est-à-dire \(\frac{d}{c}\) (on échange le numérateur et le dénominateur).
Étape 4 : Multiplier la première fraction par l’inverse trouvé :
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}. \]
Pour \(\frac{3}{5} : 2\) :
\[ 2 = \frac{2}{1} \quad \text{donc son inverse est} \quad \frac{1}{2}. \]
Ainsi,
\[ \frac{3}{5} : 2 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{5 \cdot 2} = \frac{3}{10}. \]
Pour \(\frac{5}{6} : \frac{7}{8}\) :
L’inverse de \(\frac{7}{8}\) est \(\frac{8}{7}\). Donc,
\[ \frac{5}{6} : \frac{7}{8} = \frac{5}{6} \cdot \frac{8}{7} = \frac{5 \cdot 8}{6 \cdot 7} = \frac{40}{42}, \]
qui se simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par 2 :
\[ \frac{40}{42} = \frac{20}{21}. \]
La règle pour diviser une fraction par une autre fraction se résume de la manière suivante :
\[ \boxed{\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}} \]
Cela signifie que pour diviser des fractions, il suffit de multiplier la première fraction par l’inverse de la seconde.