Exercice 29

Question: Exercice

Utilisez chacun des dix nombres suivants exactement une fois pour former cinq couples dont le produit est égal à 1.

\[ \frac{6}{11},\quad 2.5,\quad -7,\quad \frac{8}{5},\quad -\frac{2}{3},\quad -1.5,\quad \frac{11}{6},\quad 0.4,\quad \frac{5}{8},\quad -\frac{1}{7}. \]

Réponse

Les cinq paires sont : (6/11, 11/6), (8/5, 5/8), (5/2, 2/5), (-7, -1/7) et (-2/3, -3/2).

Corrigé détaillé

Nous allons chercher à grouper ces dix nombres en cinq paires de sorte que pour chaque paire \((a, b)\), le produit \(a \times b = 1\). Pour que cela soit vrai, il faut que les deux nombres soient des inverses l’un de l’autre, c’est-à-dire que \(b = \frac{1}{a}\) (et réciproquement).

Voici les dix nombres donnés :

\[ \frac{6}{11},\quad 2.5,\quad -7,\quad \frac{8}{5},\quad -\frac{2}{3},\quad -1.5,\quad \frac{11}{6},\quad 0.4,\quad \frac{5}{8},\quad -\frac{1}{7}. \]

Étape 1 : Mise sous forme de fractions

Certaines valeurs décimales seront converties pour faciliter la comparaison :

• \(2.5 = \frac{5}{2}\),
• \(-1.5 = -\frac{3}{2}\),
• \(0.4 = \frac{2}{5}\).

On obtient alors la liste suivante :

1. \(\frac{6}{11}\)
2. \(\frac{5}{2}\)
3. \(-7\)
4. \(\frac{8}{5}\)
5. \(-\frac{2}{3}\)
6. \(-\frac{3}{2}\)
7. \(\frac{11}{6}\)
8. \(\frac{2}{5}\)
9. \(\frac{5}{8}\)
10. \(-\frac{1}{7}\)

Étape 2 : Identifier les inverses

Pour chaque nombre, nous déterminons son inverse (réciproque) et nous vérifions s’il est présent dans la liste.

1. Pour \(\frac{6}{11}\) :
   L’inverse est \(\frac{11}{6}\) car
   \[ \frac{6}{11} \times \frac{11}{6} = 1. \] On remarque que \(\frac{11}{6}\) est bien dans la liste.

2. Pour \(\frac{8}{5}\) :
   L’inverse est \(\frac{5}{8}\) car
   \[ \frac{8}{5} \times \frac{5}{8} = 1. \] On trouve \(\frac{5}{8}\) dans la liste.

3. Pour \(\frac{5}{2}\) (anciennement \(2.5\)) :
   L’inverse est \(\frac{2}{5}\) car
   \[ \frac{5}{2} \times \frac{2}{5} = 1. \] \(\frac{2}{5}\) est présent dans la liste (issu de \(0.4\)).

4. Pour \(-7\) :
   L’inverse est \(-\frac{1}{7}\) car
   \[ -7 \times \left(-\frac{1}{7}\right) = 1. \] On retrouve \(-\frac{1}{7}\) dans la liste.

5. Pour \(-\frac{2}{3}\) :
   L’inverse est \(-\frac{3}{2}\) car
   \[ -\frac{2}{3} \times \left(-\frac{3}{2}\right) = 1. \] \(-\frac{3}{2}\) est bien présent (issu de \(-1.5\)).

Étape 3 : Former les paires

Ainsi, les couples qui donnent un produit égal à 1 sont :

• \(\left(\frac{6}{11},\, \frac{11}{6}\right)\)
• \(\left(\frac{8}{5},\, \frac{5}{8}\right)\)
• \(\left(\frac{5}{2},\, \frac{2}{5}\right)\)
• \(\left(-7,\, -\frac{1}{7}\right)\)
• \(\left(-\frac{2}{3},\, -\frac{3}{2}\right)\)

Vérification rapide :

• \(\frac{6}{11} \times \frac{11}{6} = 1\)
• \(\frac{8}{5} \times \frac{5}{8} = 1\)
• \(\frac{5}{2} \times \frac{2}{5} = 1\)
• \(-7 \times -\frac{1}{7} = 1\)
• \(-\frac{2}{3} \times -\frac{3}{2} = 1\)

Chaque paire multiplie effectivement pour donner \(1\).

Conclusion

Les cinq couples formés à partir des dix nombres sont :

\[ \boxed{ \left(\frac{6}{11},\, \frac{11}{6}\right),\quad \left(\frac{8}{5},\, \frac{5}{8}\right),\quad \left(\frac{5}{2},\, \frac{2}{5}\right),\quad \left(-7,\, -\frac{1}{7}\right),\quad \left(-\frac{2}{3},\, -\frac{3}{2}\right) } \]

Chaque nombre apparaît exactement une fois et le produit de chacun des couples est égal à 1.