Exercice 27

Exercice

1. Illustre les multiplications suivantes :

\[ \frac{2}{3} \times \frac{3}{5}, \quad \frac{4}{7} \times \frac{2}{7}, \quad \frac{2}{5} \times \frac{5}{8}, \quad \frac{5}{3} \times 3, \quad \frac{6}{5} \times \frac{3}{4} \]

2. Énonce une règle permettant de multiplier des fractions.

Réponse

Résumé très court :

1. Résultats : • (2/3) × (3/5) = 2/5
   • (4/7) × (2/7) = 8/49
   • (2/5) × (5/8) = 1/4
   • (5/3) × 3 = 5
   • (6/5) × (3/4) = 9/10

2. Règle : Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis simplifier si possible.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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a) Calcul des multiplications

1) Calcul de \(\frac{2}{3} \times \frac{3}{5}\)

1. Multipliez les numérateurs : \[ 2 \times 3 = 6 \]
2. Multipliez les dénominateurs : \[ 3 \times 5 = 15 \]
3. La fraction obtenue est : \[ \frac{6}{15} \]
4. Simplifiez la fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par 3 (car \(3\) est un diviseur commun) : \[ \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5} \]

Résultat : \(\frac{2}{5}\).

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2) Calcul de \(\frac{4}{7} \times \frac{2}{7}\)

1. Multipliez les numérateurs : \[ 4 \times 2 = 8 \]
2. Multipliez les dénominateurs : \[ 7 \times 7 = 49 \]
3. La fraction obtenue est : \[ \frac{8}{49} \]

Aucune simplification n’est possible ici.

Résultat : \(\frac{8}{49}\).

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3) Calcul de \(\frac{2}{5} \times \frac{5}{8}\)

1. Multipliez les numérateurs : \[ 2 \times 5 = 10 \]
2. Multipliez les dénominateurs : \[ 5 \times 8 = 40 \]
3. La fraction obtenue est : \[ \frac{10}{40} \]
4. Simplifiez en divisant le numérateur et le dénominateur par 10 : \[ \frac{10 \div 10}{40 \div 10} = \frac{1}{4} \]

Résultat : \(\frac{1}{4}\).

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4) Calcul de \(\frac{5}{3} \times 3\)

1. Rappelez-vous que \(3\) peut s’écrire comme \(\frac{3}{1}\).
2. Multipliez les numérateurs : \[ 5 \times 3 = 15 \]
3. Multipliez les dénominateurs : \[ 3 \times 1 = 3 \]
4. La fraction obtenue est : \[ \frac{15}{3} \]
5. Simplifiez en effectuant la division : \[ \frac{15}{3} = 5 \]

Résultat : \(5\).

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5) Calcul de \(\frac{6}{5} \times \frac{3}{4}\)

1. Multipliez les numérateurs : \[ 6 \times 3 = 18 \]
2. Multipliez les dénominateurs : \[ 5 \times 4 = 20 \]
3. La fraction obtenue est : \[ \frac{18}{20} \]
4. Simplifiez en divisant numérateur et dénominateur par 2 : \[ \frac{18 \div 2}{20 \div 2} = \frac{9}{10} \]

Résultat : \(\frac{9}{10}\).

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b) Règle pour multiplier des fractions

Pour multiplier deux fractions, il suffit de suivre cette règle :

1. Multiplier les numérateurs entre eux pour obtenir le numérateur du résultat.
2. Multiplier les dénominateurs entre eux pour obtenir le dénominateur du résultat.
3. Simplifier la fraction si possible en divisant le numérateur et le dénominateur par leurs facteurs communs.

En notation mathématique, si nous avons deux fractions \(\frac{a}{b}\) et \(\frac{c}{d}\), leur produit est :

\[ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} \]

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Cette méthode vous permet de multiplier correctement toute paire de fractions et ensuite, de réduire le résultat au besoin.