Exercice
La moyenne arithmétique de deux nombres est obtenue en additionnant ces deux nombres puis en divisant la somme par 2. La moyenne harmonique de deux nombres se calcule en prenant l’inverse de la moyenne arithmétique de leurs inverses.
Un exemple d’application de la moyenne harmonique est le calcul de la
résistance équivalente dans un circuit électrique lorsque deux
résistances sont disposées en parallèle. Pour des résistances \(R_1\) et \(R_2\), la résistance équivalente est donnée
par
\[
R_{eq}=\frac{2}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}
\]
Voici la correction détaillée de l’exercice.
Moyenne arithmétique :
Pour deux nombres \(a\) et \(b\), la moyenne arithmétique est donnée
par
\[
M_a = \frac{a+b}{2}.
\]
Moyenne harmonique :
Pour deux nombres \(a\) et \(b\), la moyenne harmonique se calcule en
prenant l’inverse de la moyenne arithmétique de leurs inverses,
c’est-à-dire
\[
M_h = \left(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}\right)^{-1} \quad \text{ou
encore} \quad M_h = \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}.
\]
Étape 1 : Calcul des inverses
- Inverse de \(8\) : \(\frac{1}{8}\).
- Inverse de \(12\) : \(\frac{1}{12}\).
Étape 2 : Calcul de la moyenne arithmétique des
inverses
Additionnons ces deux inverses :
\[
\frac{1}{8}+\frac{1}{12}.
\] Pour additionner, il faut trouver un dénominateur commun. Le
plus petit commun multiple (PPCM) de \(8\) et \(12\) est \(24\) : - \(\frac{1}{8} = \frac{3}{24}\)
- \(\frac{1}{12} = \frac{2}{24}\)
On a donc :
\[
\frac{1}{8}+\frac{1}{12} = \frac{3}{24}+\frac{2}{24} = \frac{5}{24}.
\]
Ensuite, on divise par 2 pour obtenir la moyenne :
\[
\text{Moyenne des inverses} = \frac{\frac{5}{24}}{2} = \frac{5}{48}.
\]
Étape 3 : Calcul de la moyenne harmonique
La moyenne harmonique est l’inverse de la moyenne des inverses : \[
M_h = \left(\frac{5}{48}\right)^{-1} = \frac{48}{5}.
\]
Réponse de la question 1 :
\[
\boxed{\frac{48}{5}}
\]
Étape 1 : Calcul des inverses
- Inverse de \(0,25\) :
\[
\frac{1}{0,25} = 4.
\] - Inverse de \(0,5\)
:
\[
\frac{1}{0,5} = 2.
\]
Étape 2 : Calcul de la moyenne arithmétique des
inverses
Additionnons ces inverses :
\[
4 + 2 = 6.
\] Puis, on divise par 2 pour obtenir la moyenne :
\[
\frac{6}{2} = 3.
\]
Étape 3 : Calcul de la moyenne harmonique
L’inverse de \(3\) donne la moyenne
harmonique : \[
M_h = \frac{1}{3}.
\]
Réponse de la question 2 :
\[
\boxed{\frac{1}{3}}
\]
Étape 1 : Addition des deux fractions
On additionne : \[
\frac{7}{8} + \frac{4}{5}.
\] Pour additionner, trouvons un dénominateur commun. Le PPCM de
\(8\) et \(5\) est \(40\).
Additionnons : \[ \frac{35}{40}+\frac{32}{40} = \frac{67}{40}. \]
Étape 2 : Calcul de la moyenne arithmétique
Divisons cette somme par \(2\) : \[
M_a = \frac{\frac{67}{40}}{2} = \frac{67}{80}.
\]
Réponse de la question 3 :
\[
\boxed{\frac{67}{80}}
\]
Étape 1 : Calcul des inverses des deux nombres
- Inverse de \(\frac{7}{8}\) :
\[
\left(\frac{7}{8}\right)^{-1} = \frac{8}{7}.
\] - Inverse de \(\frac{4}{5}\) :
\[
\left(\frac{4}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{4}.
\]
Étape 2 : Calcul de la moyenne arithmétique des
inverses
Additionnons ces deux valeurs : \[
\frac{8}{7}+\frac{5}{4}.
\] Pour additionner, trouvons un dénominateur commun. Le PPCM de
\(7\) et \(4\) est \(28\) :
Additionnons : \[ \frac{32}{28}+\frac{35}{28} = \frac{67}{28}. \] Puis, la moyenne arithmétique des inverses est : \[ \frac{\frac{67}{28}}{2} = \frac{67}{56}. \]
Étape 3 : Calcul de la moyenne harmonique
La moyenne harmonique est l’inverse de la moyenne des inverses : \[
M_h = \left(\frac{67}{56}\right)^{-1} = \frac{56}{67}.
\]
Réponse de la question 4 :
\[
\boxed{\frac{56}{67}}
\]
Chaque étape a été expliquée pour permettre de connaître la démarche à suivre pour ce type de calculs.