Exercice
Sophie affirme que \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = 1. \]
Vérifie cette égalité en effectuant les calculs.
Trouve trois nombres entiers positifs distincts \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1. \]
Nous allons résoudre cet exercice en deux parties.
Sophie affirme que
\[
\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = 1.
\] Pour vérifier cette égalité, nous allons additionner les
fractions.
Étape 1 : Trouver un dénominateur commun
Les dénominateurs des fractions sont 3, 6 et 4. L’objectif est de trouver un nombre qui soit divisible par chacun de ces dénominateurs. Un dénominateur commun facile à utiliser est 12.
Étape 2 : Mettre chaque fraction au dénominateur 12
Pour \(\frac{1}{3}\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par 4 (car \(3 \times 4 = 12\)) : \[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}. \]
Pour \(\frac{1}{6}\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par 2 (car \(6 \times 2 = 12\)) : \[ \frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}. \]
Pour \(\frac{1}{4}\), on multiplie le numérateur et le dénominateur par 3 (car \(4 \times 3 = 12\)) : \[ \frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}. \]
Étape 3 : Additionner les fractions
Maintenant, on additionne les fractions ayant le même dénominateur : \[ \frac{4}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+2+3}{12} = \frac{9}{12}. \]
Étape 4 : Simplifier la fraction
La fraction \(\frac{9}{12}\) peut être simplifiée en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur, ici 3 : \[ \frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}. \]
Conclusion pour la Partie a)
Nous avons trouvé que \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \neq 1. \] Ainsi, l’égalité proposée par Sophie est incorrecte.
Nous devons trouver trois nombres entiers positifs distincts \(a\), \(b\) et \(c\) tels que : \[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1. \]
Étape 1 : Essayer des petites valeurs
Une méthode simple consiste à essayer avec de petits entiers. On peut par exemple considérer \(a=2\), \(b=3\) et \(c=6\).
Étape 2 : Vérifier que ces valeurs conviennent
Calculons : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}. \]
Pour additionner ces fractions, trouvons un dénominateur commun :
Les dénominateurs sont 2, 3 et 6. Ici, le nombre 6 est divisible par 2, 3 et 6.
Additionnons-les : \[ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = \frac{6}{6} = 1. \]
Conclusion pour la Partie b)
Les entiers \(a=2\), \(b=3\) et \(c=6\) vérifient l’égalité : \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1. \]
Pour la partie a), nous avons montré que \(\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\) et donc n’est pas égal à 1.
Pour la partie b), une solution est \(a=2\), \(b=3\) et \(c=6\) puisque \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1\).
Cette démarche permet de bien comprendre l’addition de fractions en trouvant un dénominateur commun et l’importance de vérifier que les nombres choisis sont distincts et satisfont l’égalité.