Exercice 18

Exercice

Soit \(n\) le nombre initial de perles que possède Marc. Il donne \(\frac{1}{5}\) de ses perles à Lucie et \(\frac{2}{7}\) à Émilie.

Répondez, si possible, aux questions suivantes :

Qui possède le plus de perles après le partage : Marc, Lucie ou Émilie ?
Combien de perles restent à Marc ?
Marc a-t-il donné aux deux filles plus de la moitié des perles qu’il possédait ?

Réponse

Réponse courte : 1. Marc possède le plus de perles. 2. Il lui reste (18n)/35 perles. 3. Non, car il a donné (17n)/35 perles, ce qui est inférieur à la moitié de n.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

Rappel de l’énoncé

Marc possède initialement \(n\) perles. Il donne : - \(\frac{1}{5}\) de ses perles à Lucie ; - \(\frac{2}{7}\) de ses perles à Émilie.

Nous souhaitons répondre aux questions suivantes : 1. Qui possède le plus de perles après le partage ? 2. Combien de perles restent à Marc ? 3. Marc a-t-il donné aux deux filles plus de la moitié des perles qu’il possédait ?

Étape 1 : Calcul du nombre de perles que possède chaque personne

Perles de Lucie :
Lucie reçoit \(\frac{1}{5}\) de \(n\) perles, soit
\[ \text{Perles de Lucie} = \frac{n}{5}. \]
Perles d’Émilie :
Émilie reçoit \(\frac{2}{7}\) de \(n\) perles, soit
\[ \text{Perles d'Émilie} = \frac{2n}{7}. \]
Perles restantes pour Marc :
Marc conserve ce qui lui reste après les dons. Ainsi,
\[ \text{Perles de Marc} = n - \frac{n}{5} - \frac{2n}{7}. \]

Pour simplifier cette expression, nous allons utiliser un dénominateur commun. Les dénominateurs 5 et 7 ont pour dénominateur commun \(35\). On réécrit alors chaque fraction : \[ \frac{n}{5} = \frac{7n}{35} \quad \text{et} \quad \frac{2n}{7} = \frac{10n}{35}. \] On a donc : \[ \text{Perles de Marc} = n - \frac{7n}{35} - \frac{10n}{35} = n - \frac{17n}{35}. \] Écrivons \(n\) avec le dénominateur 35 : \[ n = \frac{35n}{35}. \] Ainsi : \[ \text{Perles de Marc} = \frac{35n}{35} - \frac{17n}{35} = \frac{18n}{35}. \]

Étape 2 : Réponses aux questions

Qui possède le plus de perles ?

Comparons les quantités que possèdent Marc, Lucie et Émilie :
- Marc : \(\frac{18n}{35}\)
- Lucie : \(\frac{n}{5} = \frac{7n}{35}\)
- Émilie : \(\frac{2n}{7} = \frac{10n}{35}\)
En comparant les numérateurs (en considérant que \(n\) est positif) : \[ 18n > 10n > 7n. \] On déduit que Marc possède le plus de perles après le partage.
Combien de perles restent à Marc ?

Nous avons trouvé que : \[ \text{Perles de Marc} = \frac{18n}{35}. \] Ainsi, Marc possède \(\frac{18}{35}\) de ses perles initiales.
Marc a-t-il donné aux deux filles plus de la moitié des perles qu’il possédait ?

La quantité de perles données par Marc est la somme des parts de Lucie et d’Émilie : \[ \frac{n}{5} + \frac{2n}{7} = \frac{7n}{35} + \frac{10n}{35} = \frac{17n}{35}. \] Pour savoir si cela représente plus de la moitié des perles de Marc, comparons \(\frac{17n}{35}\) avec \(\frac{n}{2}\). Pour pouvoir comparer, mettons \(\frac{n}{2}\) avec le dénominateur 35 : \[ \frac{n}{2} = \frac{17.5n}{35}. \] On constate que : \[ \frac{17n}{35} < \frac{17.5n}{35}. \] Ainsi, la somme des perles données, \(\frac{17}{35}\) de \(n\), est inférieure à la moitié des perles initiales.
On peut conclure que non, Marc n’a pas donné aux deux filles plus de la moitié des perles qu’il possédait.

Conclusion

Après le partage, Marc possède le plus de perles.
Le nombre de perles restantes à Marc est de \(\displaystyle \frac{18n}{35}\).
Non, Marc n’a pas donné aux deux filles plus de la moitié des perles qu’il possédait.

Cette solution vous permet de comprendre pas à pas comment effectuer les opérations et arriver au résultat.