Lors de la dernière évaluation de mathématiques, un quart des élèves a obtenu une note supérieure ou égale à 7 et un tiers des élèves une note égale à 5. Les autres élèves ont obtenu une note inférieure à 5.
Déterminez la fraction des élèves ayant obtenu une note inférieure à 5.
Déterminez les valeurs possibles pour le nombre d’élèves de la classe.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
On nous indique que : - Un quart des élèves (c’est-à-dire \(\frac{1}{4}\) des élèves) a obtenu une note supérieure ou égale à 7. - Un tiers des élèves (c’est-à-dire \(\frac{1}{3}\) des élèves) a obtenu la note 5. - Les autres élèves ont obtenu une note inférieure à 5.
Les fractions des élèves ayant obtenu une note supérieure ou égale à 7 et une note égale à 5 s’additionnent : \[ \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \] Pour additionner ces fractions, on trouve un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun de 4 et 3 est 12 : \[ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \quad \text{et} \quad \frac{1}{3} = \frac{4}{12}. \] On obtient donc : \[ \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}. \]
La somme des fractions de toutes les élèves doit être égale à 1 (la totalité de la classe). Donc, la fraction des élèves ayant obtenu une note inférieure à 5 est : \[ 1 - \frac{7}{12} = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}. \]
Réponse (a) : \(\displaystyle \frac{5}{12}\).
Soit \(n\) le nombre total d’élèves dans la classe.
Pour que chacun de ces nombres représente un nombre entier d’élèves, il faut que \(n\) soit divisible par les dénominateurs 4, 3 et 12.
Le plus petit nombre \(n\) divisible par 4, 3 et 12 est tout simplement 12. En effet, 12 est un multiple de 4 et de 3.
Ainsi, \(n\) doit être un multiple de 12. On peut donc écrire : \[ n = 12k \quad \text{avec } k \geq 1 \text{ entier}. \]
Réponse (b) : Le nombre d’élèves de la classe peut être \(12\), \(24\), \(36\), etc., c’est-à-dire que \(n = 12k\) pour un entier \(k \geq 1\).
Cette solution permet de comprendre, étape par étape, comment passer des informations du problème aux réponses finales.