Exercice 7

Exercice

  1. Illustrer, à l’aide de figures géométriques (cercles, triangles, losanges, segments, …) les opérations suivantes :
  1. \(\frac{1}{5} + \frac{2}{3}\)
  2. \(0,75 - \frac{1}{3}\)
  3. \(\frac{2}{7} + \frac{4}{3}\)
  4. \(\frac{3}{4} - \frac{2}{5}\)
  5. \(\frac{1}{2} + \frac{3}{4}\)
  6. \(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\)

  1. Rédige une règle permettant d’additionner ou de soustraire des fractions en insistant sur l’importance de trouver un dénominateur commun.

  2. Crée un labyrinthe composé de 16 cases disposées dans une grille \(4 \times 4\) en respectant les consignes suivantes :

Présente ton labyrinthe à un camarade et demande-lui de retrouver le chemin du départ à l’arrivée.

Réponse

Réponse courte :

– a) 1/5 + 2/3 = 13/15
– b) 0,75 – 1/3 = 5/12
– c) 2/7 + 4/3 = 34/21 (soit 1 13/21)
– d) 3/4 – 2/5 = 7/20
– e) 1/2 + 3/4 = 5/4 (soit 1 1/4)
– f) 1 + 1/3 + 1/5 = 23/15 (soit 1 8/15)

Règle : Pour additionner ou soustraire des fractions, on trouve un dénominateur commun, on transforme chaque fraction en fraction équivalente, puis on additionne ou soustrait les numérateurs.

Labyrinthe : Dans une grille 4×4, partez de (1,1) avec 1/2 et opérez successivement : 1/2 + 1/4 = 3/4 → 3/4 – 1/3 = 5/12 → 5/12 + 1/4 = 2/3 → 2/3 + 1/6 = 5/6 → 5/6 + 1/12 = 11/12 → 11/12 + 1/12 = 1
Le parcours unique de cases (départ en (1,1) et arrivée en (4,4)) s’obtient en suivant ces opérations.

Corrigé détaillé

Voici une proposition de correction détaillée pour résoudre l’exercice proposé. Nous allons d’abord traiter les opérations par fractions illustrées à l’aide de figures géométriques, puis répondre aux consignes de rédaction de règle et à la création d’un labyrinthe.

Partie 1. Illustrer les opérations à l’aide de figures géométriques

L’idée est de représenter chaque fraction par une figure découpée en parties égales. Par exemple, vous pouvez utiliser un cercle, un rectangle ou un carré découpé en plusieurs portions. On colorie ensuite le nombre de portions indiquées par le numérateur pour représenter la fraction. Pour l’addition ou la soustraction, on superpose ou on retranche les portions colorées d’une figure commune.

a) \(\displaystyle \frac{1}{5} + \frac{2}{3}\)

  1. Recherche du dénominateur commun :
    Les dénominateurs 5 et 3 admettent pour plus petit multiple commun \(5 \times 3 = 15\).

  2. Conversion des fractions :
    \[ \frac{1}{5} = \frac{1\times3}{5\times3} = \frac{3}{15} \quad\text{et}\quad \frac{2}{3} = \frac{2\times5}{3\times5} = \frac{10}{15}. \]

  3. Addition des numérateurs :
    \[ \frac{3}{15} + \frac{10}{15} = \frac{13}{15}. \]

  4. Représentation graphique :
    Dessinez un cercle divisé en 15 parts égales. Coloriez 3 parts pour \(\frac{1}{5}\) (en expliquant que 1/5 équivaut à 3/15) et 10 parts pour \(\frac{2}{3}\). L’ensemble colorié représente \(\frac{13}{15}\).

b) \(\displaystyle 0{,}75 - \frac{1}{3}\)

  1. Conversion de 0,75 en fraction :
    On sait que
    \[ 0{,}75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}. \]

  2. Recherche du dénominateur commun :
    Pour les dénominateurs 4 et 3, le plus petit commun multiple est \(12\).

  3. Conversion des fractions :
    \[ \frac{3}{4}=\frac{3\times3}{4\times3}=\frac{9}{12}\quad\text{et}\quad \frac{1}{3}=\frac{1\times4}{3\times4}=\frac{4}{12}. \]

  4. Soustraction :
    \[ \frac{9}{12}-\frac{4}{12}=\frac{5}{12}. \]

  5. Représentation graphique :
    Dessinez un rectangle divisé en 12 parties. Colorez 9 parties pour représenter \(0{,}75=\frac{3}{4}\), puis indiquez que l’on retire 4 parties colorées (indiquant la soustraction de \(\frac{1}{3}\)) afin d’obtenir \(\frac{5}{12}\).

c) \(\displaystyle \frac{2}{7} + \frac{4}{3}\)

  1. Recherche du dénominateur commun :
    Pour 7 et 3, le plus petit multiple commun est \(7\times3=21\).

  2. Conversion des fractions :
    \[ \frac{2}{7}=\frac{2\times3}{7\times3}=\frac{6}{21} \quad\text{et}\quad \frac{4}{3}=\frac{4\times7}{3\times7}=\frac{28}{21}. \]

  3. Addition :
    \[ \frac{6}{21}+\frac{28}{21}=\frac{34}{21}. \] Cette fraction est impropre et peut également s’écrire \(1\frac{13}{21}\).

  4. Représentation graphique :
    Utilisez un carré divisé en 21 parts et coloriez 6 parts pour \(\frac{2}{7}\) et 28 parts pour \(\frac{4}{3}\) en expliquant que l’on utilise des figures redessinées de façon à comparer les parties (on peut dessiner deux figures identiques divisées en 21 parts chacune, puis représenter la somme en superposant les portions colorées).

d) \(\displaystyle \frac{3}{4} - \frac{2}{5}\)

  1. Recherche du dénominateur commun :
    Pour 4 et 5, le plus petit multiple commun est \(20\).

  2. Conversion des fractions :
    \[ \frac{3}{4}=\frac{3\times5}{4\times5}=\frac{15}{20} \quad\text{et}\quad \frac{2}{5}=\frac{2\times4}{5\times4}=\frac{8}{20}. \]

  3. Soustraction :
    \[ \frac{15}{20}-\frac{8}{20}=\frac{7}{20}. \]

  4. Représentation graphique :
    Dessinez un losange ou un rectangle divisé en 20 parties égales. Colorez 15 parties pour \(\frac{3}{4}\) et, ensuite, montrez que l’on retire 8 parties pour obtenir \(\frac{7}{20}\).

e) \(\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{3}{4}\)

  1. Recherche du dénominateur commun :
    Pour 2 et 4, le plus petit commun multiple est 4.

  2. Conversion des fractions :
    \[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}\quad\text{et}\quad \frac{3}{4} \ \text{reste inchangé.} \]

  3. Addition :
    \[ \frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}. \]

  4. Représentation graphique :
    Dessinez un cercle ou un carré divisé en 4 parts. Colorez 2 parts pour \(\frac{1}{2}\) et 3 parts pour \(\frac{3}{4}\). Vous montrerez alors que la somme dépasse la totalité de la figure, ce qui s’exprime par \(1\frac{1}{4}\).

f) \(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\)

  1. Réécriture de 1 sous forme de fraction :
    On laisse le 1 tel quel et on additionne ensuite avec les fractions.

  2. Recherche du dénominateur commun pour \(\displaystyle \frac{1}{3}\) et \(\displaystyle \frac{1}{5}\) :
    Pour 3 et 5, le plus petit multiple commun est 15.

  3. Conversion :
    \[ \frac{1}{3}=\frac{5}{15}\quad\text{et}\quad \frac{1}{5}=\frac{3}{15}. \]

  4. Addition des fractions :
    \[ \frac{5}{15}+\frac{3}{15}=\frac{8}{15}. \]

  5. Addition avec 1 :
    \[ 1+\frac{8}{15}=\frac{15}{15}+\frac{8}{15}=\frac{23}{15}\quad\text{soit}\quad 1\frac{8}{15}. \]

  6. Représentation graphique :
    Pour 1, on peut dessiner une figure entièrement colorée (par exemple, un rectangle complet). Ensuite, pour \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{5}\), dessinez deux figures (ou divisez la même figure en 15 parties) et coloriez respectivement 5 et 3 parts afin de montrer que la somme donne \(1\frac{8}{15}\).

Partie 2. Rédaction d’une règle et création d’un labyrinthe

2.a Rédaction d’une règle pour additionner ou soustraire des fractions

Règle :

Pour additionner ou soustraire deux fractions, il faut :

  1. Trouver un dénominateur commun.
    Cela signifie déterminer un nombre qui est un multiple de chacun des dénominateurs. Souvent, on utilise le plus petit commun multiple (PPCM).

  2. Transformer chaque fraction en une fraction équivalente ayant ce dénominateur commun.
    Pour cela, on multiplie le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le même facteur.

  3. Effectuer l’addition ou la soustraction sur les numérateurs, en gardant le dénominateur commun.

  4. Simplifier la fraction obtenue si nécessaire.

Exemple : Pour \(\frac{3}{4}-\frac{2}{5}\), on a

\[ \frac{3}{4}=\frac{15}{20}\quad \text{et}\quad \frac{2}{5}=\frac{8}{20}. \]

On soustrait ainsi :

\[ \frac{15}{20}-\frac{8}{20}=\frac{7}{20}. \]

2.b Création d’un labyrinthe \(4 \times 4\) conforme aux consignes

Nous allons concevoir une grille de 16 cases. La case de départ se trouve dans le coin supérieur gauche et celle d’arrivée dans le coin inférieur droit. Le parcours reliant le départ à l’arrivée est unique. Dans notre labyrinthe, chaque case comporte une fraction. Dans certaines cases (celles du chemin unique), une opération est indiquée. Lorsque l’on se trouve dans une case, il faut effectuer l’opération donnée et trouver dans une case voisine la fraction égale au résultat obtenu.

Proposition de chemin unique

Nous définissons le parcours suivant :

  1. Case de départ (1,1) :
    Fraction : \(\displaystyle \frac{1}{2}\)
    Opération : \(+ \frac{1}{4}\)
    → \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

  2. Case (1,2) :
    Fraction : \(\displaystyle \frac{3}{4}\)
    Opération : \(- \frac{1}{3}\)
    → \(\frac{3}{4}-\frac{1}{3}=\frac{9}{12}-\frac{4}{12}=\frac{5}{12}\)

  3. Case (2,2) :
    Fraction : \(\displaystyle \frac{5}{12}\)
    Opération : \(+ \frac{1}{4}\)
    → \(\frac{5}{12}+\frac{3}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)

  4. Case (3,2) :
    Fraction : \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
    Opération : \(+ \frac{1}{6}\)
    → \(\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)

  5. Case (3,3) :
    Fraction : \(\displaystyle \frac{5}{6}\)
    Opération : \(+ \frac{1}{12}\)
    → \(\frac{5}{6}+\frac{1}{12}=\frac{10}{12}+\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\)

  6. Case (4,3) :
    Fraction : \(\displaystyle \frac{11}{12}\)
    Opération : \(+ \frac{1}{12}\)
    → \(\frac{11}{12}+\frac{1}{12}= \frac{12}{12}=1\)

  7. Case d’arrivée (4,4) :
    Fraction : \(1\) (arrivée)

Remplissage des autres cases (distracteurs)

Voici une répartition possible de toutes les cases dans la grille \(4 \times 4\). Les cases indiquées en gras font partie du chemin unique.

Colonne 1 Colonne 2 Colonne 3 Colonne 4
Ligne 1 (1,1): \(\frac{1}{2}\)
Op.: \(+ \frac{1}{4}\)		 (1,2): \(\frac{3}{4}\)
Op.: \(- \frac{1}{3}\)		 (1,3): \(\frac{1}{4}\) (1,4): \(\frac{2}{5}\)
Ligne 2 (2,1): \(\frac{3}{5}\) (2,2): \(\frac{5}{12}\)
Op.: \(+ \frac{1}{4}\)		 (2,3): \(\frac{7}{12}\) (2,4): \(\frac{5}{8}\)
Ligne 3 (3,1): \(\frac{1}{6}\) (3,2): \(\frac{2}{3}\)
Op.: \(+ \frac{1}{6}\)		 (3,3): \(\frac{5}{6}\)
Op.: \(+ \frac{1}{12}\)		 (3,4): \(\frac{4}{5}\)
Ligne 4 (4,1): \(\frac{2}{7}\) (4,2): \(\frac{3}{7}\) (4,3): \(\frac{11}{12}\)
Op.: \(+ \frac{1}{12}\)		 (4,4): \(1\) (Arrivée)

Remarque : Les fractions placées dans les autres cases servent de distracteurs. Le chemin unique se trouve en suivant les cases en gras dans l’ordre indiqué.

Consignes pour jouer
  1. Le joueur part de la case de départ (en haut à gauche, avec la fraction \(\frac{1}{2}\)).
  2. Dans chaque case du chemin, il exécute l’opération indiquée et cherche, parmi les cases adjacentes (en haut, en bas, à gauche ou à droite), la case dont la fraction correspond au résultat obtenu.
  3. Le but est de rejoindre la case d’arrivée (en bas à droite qui contient \(1\)) en suivant ce chemin unique.

Présente ensuite ce labyrinthe à un camarade en lui demandant de retrouver le trajet du départ à l’arrivée en appliquant les opérations de chaque case du chemin.

Cette correction détaillée permet de comprendre comment effectuer les opérations avec des fractions tout en associant chacune d’elles à une représentation graphique. La consigne pour la règle et le labyrinthe fait appel à la notion de dénominateur commun et à la transformation des fractions avant de réaliser l’opération, tout en proposant un jeu interactif pour vérifier sa compréhension.

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