Exercice 6

On vous présente deux méthodes pour additionner des fractions. Par exemple, pour additionner \[ \frac{3}{4} \quad \text{et} \quad \frac{2}{5}, \] on peut procéder ainsi :

  1. En convertissant en décimaux : \[ \frac{3}{4} = 0{,}75 \quad \text{et} \quad \frac{2}{5} = 0{,}40. \] Ainsi, \[ 0{,}75 + 0{,}40 = 1{,}15 = \frac{115}{100} = \frac{23}{20}. \]

  2. En utilisant un dénominateur commun : \[ \frac{3}{4} + \frac{2}{5} = \frac{15}{20} + \frac{8}{20} = \frac{23}{20}. \]

Utilisez ces deux méthodes successivement pour effectuer les opérations suivantes :

  1. \(\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\)

  2. \(\displaystyle \frac{8}{7} - \frac{3}{4}\)

  3. \(\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{1}{3}\)

Choisissez ensuite la méthode qui vous semble la plus efficace et effectuez les opérations suivantes :

  1. \(\displaystyle \frac{5}{4} + \frac{2}{5}\)

  2. \(\displaystyle \frac{3}{8} + \frac{5}{6}\)

  3. \(\displaystyle \frac{2}{9} + \frac{3}{7}\)

Réponse

  1. 5/6
  2. 11/28
  3. 11/15
  4. 33/20
  5. 29/24
  6. 41/63

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice avec un raisonnement pas à pas :

Partie a) \(\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\)

Nous allons effectuer l’addition en utilisant deux méthodes.

Méthode 1 : Conversion en décimaux
  1. Convertissons chacune des fractions en nombre décimal :
    • \(\displaystyle \frac{1}{3} \approx 0{,}33\) (approximativement)
    • \(\displaystyle \frac{1}{2} = 0{,}50\)
  2. Additionnons ces décimaux : \[ 0{,}33 + 0{,}50 \approx 0{,}83 \] Cette valeur décimale correspond à une fraction qui sera obtenue par la méthode suivante.
Méthode 2 : Utilisation d’un dénominateur commun

  1. Pour additionner \(\frac{1}{3}\) et \(\frac{1}{2}\), on cherche un dénominateur commun.
    Le plus petit dénominateur commun de 3 et 2 est 6.

  2. Réécrivons chaque fraction avec 6 comme dénominateur : \[ \frac{1}{3} = \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{2}{6} \quad \text{et} \quad \frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} \]

  3. Additionnons les fractions : \[ \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6} \]

On obtient ainsi :
\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}. \]

Partie b) \(\displaystyle \frac{8}{7} - \frac{3}{4}\)

Nous réalisons l’opération avec les deux méthodes.

Méthode 1 : Conversion en décimaux
  1. Convertissons chaque fraction en décimal :
    • \(\displaystyle \frac{8}{7} \approx 1{,}14\) (valeur approchée)
    • \(\displaystyle \frac{3}{4} = 0{,}75\)
  2. Effectuons la soustraction : \[ 1{,}14 - 0{,}75 \approx 0{,}39 \] Cette valeur décimale correspond à un résultat approximatif.
Méthode 2 : Utilisation d’un dénominateur commun

  1. Trouvons un dénominateur commun pour 7 et 4.
    Ici, le plus petit commun multiple de 7 et 4 est 28.

  2. Convertissons les fractions : \[ \frac{8}{7} = \frac{8 \times 4}{7 \times 4} = \frac{32}{28} \quad \text{et} \quad \frac{3}{4} = \frac{3 \times 7}{4 \times 7} = \frac{21}{28} \]

  3. Soustrayons : \[ \frac{32}{28} - \frac{21}{28} = \frac{32 - 21}{28} = \frac{11}{28} \]

Le résultat exact est donc :
\[ \frac{8}{7} - \frac{3}{4} = \frac{11}{28}. \]

Partie c) \(\displaystyle \frac{2}{5} + \frac{1}{3}\)

Encore une fois, appliquons les deux méthodes.

Méthode 1 : Conversion en décimaux
  1. Convertissons :
    • \(\displaystyle \frac{2}{5} = 0{,}40\)
    • \(\displaystyle \frac{1}{3} \approx 0{,}33\)
  2. Additionnons : \[ 0{,}40 + 0{,}33 \approx 0{,}73 \] Ce résultat est une approximation en décimal.
Méthode 2 : Utilisation d’un dénominateur commun

  1. Le dénominateur commun de 5 et 3 est 15.

  2. Réécrivons les fractions : \[ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15},\quad \frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15} \]

  3. Additionnons : \[ \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{6+5}{15} = \frac{11}{15} \]

Ainsi,
\[ \frac{2}{5} + \frac{1}{3} = \frac{11}{15}. \]

Pour les opérations d), e) et f)

Nous allons choisir la méthode utilisant le dénominateur commun, qui est celle la plus efficace pour ces opérations.

Partie d) \(\displaystyle \frac{5}{4} + \frac{2}{5}\)

  1. Déterminer un dénominateur commun.
    Ici, 4 et 5 sont premiers entre eux, donc leur produit est le dénominateur commun : \(4 \times 5 = 20\).

  2. Réécrire chaque fraction : \[ \frac{5}{4} = \frac{5 \times 5}{4 \times 5} = \frac{25}{20},\quad \frac{2}{5} = \frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20} \]

  3. Additionner : \[ \frac{25}{20} + \frac{8}{20} = \frac{25+8}{20} = \frac{33}{20}. \]

La réponse est donc :
\[ \frac{5}{4} + \frac{2}{5} = \frac{33}{20}. \]

Partie e) \(\displaystyle \frac{3}{8} + \frac{5}{6}\)

  1. Les dénominateurs 8 et 6 ont pour plus petit commun multiple 24.

  2. Convertissons les fractions : \[ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24},\quad \frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24} \]

  3. Additionnons : \[ \frac{9}{24} + \frac{20}{24} = \frac{9+20}{24} = \frac{29}{24}. \]

La réponse est :
\[ \frac{3}{8} + \frac{5}{6} = \frac{29}{24}. \]

Partie f) \(\displaystyle \frac{2}{9} + \frac{3}{7}\)

  1. Le dénominateur commun de 9 et 7 est \(9 \times 7 = 63\) (les deux nombres n’ayant pas de diviseur commun autre que 1).

  2. Réécrivons les fractions : \[ \frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63},\quad \frac{3}{7} = \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63} \]

  3. Additionnons : \[ \frac{14}{63} + \frac{27}{63} = \frac{14+27}{63} = \frac{41}{63}. \]

La réponse finale est :
\[ \frac{2}{9} + \frac{3}{7} = \frac{41}{63}. \]

Récapitulatif des Réponses

Chaque étape a été détaillée pour vous permettre de comprendre comment transformer les fractions, trouver le dénominateur commun, et effectuer les opérations. Ces méthodes vous aident à vérifier vos résultats tout en renforçant votre compréhension des fractions.

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