Exercice 3

Ordonnez les nombres suivants par ordre croissant :

\[\frac{5}{7}\]
\[0,8\]
\[\frac{7}{8}\]
\[0,\overline{4}\]
\[\frac{19}{15}\]

Réponse

L’ordre croissant des nombres est : 0, overline{4} < 5/7 < 0,8 < 7/8 < 19/15.

Corrigé détaillé

Nous allons comparer les nombres en les transformant en nombres décimaux. Cela nous permet de les placer facilement par ordre croissant.

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Étape 1 : Transformer chaque nombre

1. \(\frac{5}{7}\) :

   Pour connaître la valeur décimale, nous effectuons la division :

   \[ \frac{5}{7} \approx 0{,}714285\ldots \]

2. \(0,8\) :

   Ce nombre est déjà en forme décimale :

   \[ 0,8 = 0{,}8 \]

3. \(\frac{7}{8}\) :

   Effectuons la division :

   \[ \frac{7}{8} = 0{,}875 \]

4. \(0,\overline{4}\) :

   Ce nombre représente un nombre décimal répété, c’est-à-dire :

   \[ 0,\overline{4} = 0{,}4444\ldots \]

5. \(\frac{19}{15}\) :

   Calculons la division pour obtenir le décimal :

   \[ \frac{19}{15} \approx 1{,}2666\ldots \]

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Étape 2 : Comparer les valeurs

Nous avons donc les valeurs suivantes :

• \(0,\overline{4} \approx 0{,}4444\ldots\)
• \(\frac{5}{7} \approx 0{,}7143\)
• \(0,8 = 0{,}8\)
• \(\frac{7}{8} = 0{,}875\)
• \(\frac{19}{15} \approx 1{,}2667\)

Comparons-les du plus petit au plus grand :

1. Le plus petit nombre est \(0,\overline{4}\) car \(0{,}4444\ldots\) est inférieur à toutes les autres valeurs.
2. Ensuite, \(\frac{5}{7} \approx 0{,}7143\).
3. Puis, \(0,8\).
4. Ensuite, \(\frac{7}{8} = 0{,}875\).
5. Le plus grand nombre est \(\frac{19}{15} \approx 1{,}2667\).

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Étape 3 : Écrire l’ordre croissant

L’ordre croissant des nombres est donc :

\[ 0,\overline{4} < \frac{5}{7} < 0,8 < \frac{7}{8} < \frac{19}{15} \]

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Conclusion

Pour résumer, nous avons transformé chaque nombre en sa valeur décimale, puis nous les avons comparés pour les ordonner du plus petit au plus grand. Ainsi, l’ordre croissant des nombres est :

\[ \boxed{0,\overline{4} < \frac{5}{7} < 0,8 < \frac{7}{8} < \frac{19}{15}} \]