Exercice 11

Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ g(x)=\left|4x^2-9\right|. \]

  1. Recopier et compléter le tableau suivant :
\(x\) \(-2\) \(-\frac{3}{2}\) \(-1\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(1\) \(\frac{3}{2}\) \(2\)
\(g(x)\)
  1. Tracer la courbe représentative de la fonction \(g\).

Réponse

Réponse courte : Le tableau final est :

 x : –2  –3/2  –1  –1/2  0  1/2  1  3/2  2
 g(x) : 7   0   5   8   9   8   5   0   7

La courbe de g(x) = |4x² – 9| est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; pour |x| < 3/2, g(x) = 9 – 4x² (parabole renversée avec maximum en (0,9)) et pour |x| ≥ 3/2, g(x) = 4x² – 9 (parabole ouverte vers le haut).

Corrigé détaillé

Nous considérons la fonction \[ g(x)=\left|4x^2-9\right| \] définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\). L’objectif est de compléter un tableau de valeurs de \(g(x)\) pour certains \(x\) donnés, puis de tracer la courbe représentative.


1) Compléter le tableau de valeurs

Le tableau donné est :

\(x\) \(-2\) \(-\frac{3}{2}\) \(-1\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(1\) \(\frac{3}{2}\) \(2\)
\(g(x)\)

Pour chaque valeur de \(x\), nous allons calculer :

\[ g(x)=\left|4x^2-9\right| \]

a) Pour \(x = -2\)
  1. Calculer \(x^2\) : \((-2)^2 = 4\).
  2. Multiplier par 4 : \(4 \times 4 = 16\).
  3. Soustraire 9 : \(16 - 9 = 7\).
  4. La valeur absolue de 7 est 7.

\[ g(-2) = 7. \]

b) Pour \(x = -\frac{3}{2}\)
  1. Calculer \(x^2\) : \(\left(-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\).
  2. Multiplier par 4 : \(4 \times \frac{9}{4} = 9\).
  3. Soustraire 9 : \(9 - 9 = 0\).
  4. La valeur absolue de 0 est 0.

\[ g\left(-\frac{3}{2}\right)= 0. \]

c) Pour \(x = -1\)
  1. Calculer \(x^2\) : \((-1)^2 = 1\).
  2. Multiplier par 4 : \(4 \times 1 = 4\).
  3. Soustraire 9 : \(4 - 9 = -5\).
  4. La valeur absolue de \(-5\) est \(5\).

\[ g(-1) = 5. \]

d) Pour \(x = -\frac{1}{2}\)
  1. Calculer \(x^2\) : \(\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\).
  2. Multiplier par 4 : \(4 \times \frac{1}{4} = 1\).
  3. Soustraire 9 : \(1 - 9 = -8\).
  4. La valeur absolue de \(-8\) est \(8\).

\[ g\left(-\frac{1}{2}\right) = 8. \]

e) Pour \(x = 0\)
  1. Calculer \(x^2\) : \((0)^2 = 0\).
  2. Multiplier par 4 : \(4 \times 0 = 0\).
  3. Soustraire 9 : \(0 - 9 = -9\).
  4. La valeur absolue de \(-9\) est \(9\).

\[ g(0) = 9. \]

f) Pour \(x = \frac{1}{2}\)

Ce calcul est analogue à celui de \(x = -\frac{1}{2}\) puisque \(x^2\) est le même. \[ g\left(\frac{1}{2}\right) = 8. \]

g) Pour \(x = 1\)

Ce calcul est analogue à celui de \(x = -1\) : \[ g(1) = 5. \]

h) Pour \(x = \frac{3}{2}\)

Ce calcul est analogue à celui de \(x = -\frac{3}{2}\) : \[ g\left(\frac{3}{2}\right) = 0. \]

i) Pour \(x = 2\)
  1. Calculer \(x^2\) : \((2)^2 = 4\).
  2. Multiplier par 4 : \(4 \times 4 = 16\).
  3. Soustraire 9 : \(16 - 9 = 7\).
  4. La valeur absolue de \(7\) est \(7\).

\[ g(2) = 7. \]

Tableau complété
\(x\) \(-2\) \(-\frac{3}{2}\) \(-1\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(1\) \(\frac{3}{2}\) \(2\)
\(g(x)\) \(7\) \(0\) \(5\) \(8\) \(9\) \(8\) \(5\) \(0\) \(7\)

2) Tracer la courbe représentative de la fonction \(g\)

a) Compréhension de la fonction

La fonction est définie par \(g(x)=\left|4x^2-9\right|\). Pour tracer sa courbe, nous remarquons :

  1. Symétrie :
    • La fonction est basée sur \(x^2\), ce qui signifie que \(g(x)\) est une fonction paire. Ainsi, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
  2. Expression en deux parties :
    • Lorsque \(4x^2-9 \geq 0\), alors \(g(x)=4x^2-9\).
    • Lorsque \(4x^2-9 < 0\), alors \(g(x)=9-4x^2\).

Pour déterminer les intervalles, nous résolvons l’équation : \[ 4x^2-9=0 \quad \Longrightarrow \quad 4x^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad x^2 = \frac{9}{4} \quad \Longrightarrow \quad x = \pm\frac{3}{2}. \]

Cela signifie que : - Pour \(|x| \geq \frac{3}{2}\), on a \(4x^2-9\geq0\) et donc \(g(x)=4x^2-9\). - Pour \(|x| < \frac{3}{2}\), on a \(4x^2-9<0\) et donc \(g(x)=9-4x^2\).

b) Points remarquables et forme de la courbe
c) Étapes pour tracer la courbe
  1. Tracer les axes de coordonnées.

  2. Placer les points calculés :

    • \((-2, 7)\)
    • \(-\frac{3}{2}, 0\)
    • \((-1, 5)\)
    • \(-\frac{1}{2}, 8\)
    • \((0, 9)\)
    • \((\frac{1}{2}, 8)\)
    • \((1, 5)\)
    • \((\frac{3}{2}, 0)\)
    • \((2, 7)\)
  3. Tracer une courbe lisse rejoignant ces points :

    • Entre \(-\frac{3}{2}\) et \(\frac{3}{2}\), la courbe suit \(g(x)=9-4x^2\), ce qui donne une parabole renversée (ouverte vers le bas) avec un maximum en \((0,9)\).
    • Pour \(|x| > \frac{3}{2}\), la courbe suit \(g(x)=4x^2-9\), c’est une parabole orientée vers le haut.
  4. Vérifier la symétrie :
    Puisque \(g(x)\) est paire, la partie située dans \(x \geq 0\) est symétrique de celle dans \(x \leq 0\).

d) Remarque sur l’aspect graphique

La courbe résulte d’une combinaison de deux branches de paraboles qui se rejoignent en \(x = \pm \frac{3}{2}\) où la valeur de la fonction est nulle. Ainsi, la forme globale ressemble à la juxtaposition d’une parabole renversée (pour \(|x| < \frac{3}{2}\)) et d’une parabole “normale” (pour \(|x| \geq \frac{3}{2}\)).


Conclusion

En suivant ces étapes, vous pouvez tracer la courbe représentative de la fonction \(g\) sur le même repère en rejoignant les points de manière lisse.

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