Soit la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ g(x)=\left|4x^2-9\right|. \]
\(x\) | \(-2\) | \(-\frac{3}{2}\) | \(-1\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(\frac{3}{2}\) | \(2\) |
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\(g(x)\) |
Réponse courte : Le tableau final est :
x : –2 –3/2 –1 –1/2 0 1/2 1 3/2 2
g(x) : 7 0 5 8 9 8 5 0 7
La courbe de g(x) = |4x² – 9| est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées ; pour |x| < 3/2, g(x) = 9 – 4x² (parabole renversée avec maximum en (0,9)) et pour |x| ≥ 3/2, g(x) = 4x² – 9 (parabole ouverte vers le haut).
Nous considérons la fonction \[ g(x)=\left|4x^2-9\right| \] définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\). L’objectif est de compléter un tableau de valeurs de \(g(x)\) pour certains \(x\) donnés, puis de tracer la courbe représentative.
Le tableau donné est :
\(x\) | \(-2\) | \(-\frac{3}{2}\) | \(-1\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(\frac{3}{2}\) | \(2\) |
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\(g(x)\) |
Pour chaque valeur de \(x\), nous allons calculer :
\[ g(x)=\left|4x^2-9\right| \]
\[ g(-2) = 7. \]
\[ g\left(-\frac{3}{2}\right)= 0. \]
\[ g(-1) = 5. \]
\[ g\left(-\frac{1}{2}\right) = 8. \]
\[ g(0) = 9. \]
Ce calcul est analogue à celui de \(x = -\frac{1}{2}\) puisque \(x^2\) est le même. \[ g\left(\frac{1}{2}\right) = 8. \]
Ce calcul est analogue à celui de \(x = -1\) : \[ g(1) = 5. \]
Ce calcul est analogue à celui de \(x = -\frac{3}{2}\) : \[ g\left(\frac{3}{2}\right) = 0. \]
\[ g(2) = 7. \]
\(x\) | \(-2\) | \(-\frac{3}{2}\) | \(-1\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(\frac{3}{2}\) | \(2\) |
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\(g(x)\) | \(7\) | \(0\) | \(5\) | \(8\) | \(9\) | \(8\) | \(5\) | \(0\) | \(7\) |
La fonction est définie par \(g(x)=\left|4x^2-9\right|\). Pour tracer sa courbe, nous remarquons :
Pour déterminer les intervalles, nous résolvons l’équation : \[ 4x^2-9=0 \quad \Longrightarrow \quad 4x^2 = 9 \quad \Longrightarrow \quad x^2 = \frac{9}{4} \quad \Longrightarrow \quad x = \pm\frac{3}{2}. \]
Cela signifie que : - Pour \(|x| \geq \frac{3}{2}\), on a \(4x^2-9\geq0\) et donc \(g(x)=4x^2-9\). - Pour \(|x| < \frac{3}{2}\), on a \(4x^2-9<0\) et donc \(g(x)=9-4x^2\).
Points d’annulation :
\(g(x)=0\) lorsque \(x=\pm \frac{3}{2}\).
Point le plus élevé :
En \(x=0\) on trouve \(g(0)=9\).
Symétrie par rapport à l’axe vertical :
Les valeurs de \(g(-x)\) sont
identiques à celles de \(g(x)\).
Tracer les axes de coordonnées.
Placer les points calculés :
Tracer une courbe lisse rejoignant ces points :
Vérifier la symétrie :
Puisque \(g(x)\) est paire, la partie
située dans \(x \geq 0\) est symétrique
de celle dans \(x \leq 0\).
La courbe résulte d’une combinaison de deux branches de paraboles qui se rejoignent en \(x = \pm \frac{3}{2}\) où la valeur de la fonction est nulle. Ainsi, la forme globale ressemble à la juxtaposition d’une parabole renversée (pour \(|x| < \frac{3}{2}\)) et d’une parabole “normale” (pour \(|x| \geq \frac{3}{2}\)).
Tableau final :
\(x\) | \(-2\) | \(-\frac{3}{2}\) | \(-1\) | \(-\frac{1}{2}\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(1\) | \(\frac{3}{2}\) | \(2\) |
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\(g(x)\) | \(7\) | \(0\) | \(5\) | \(8\) | \(9\) | \(8\) | \(5\) | \(0\) | \(7\) |
Graphiquement :
La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et se compose
de deux parties :
En suivant ces étapes, vous pouvez tracer la courbe représentative de la fonction \(g\) sur le même repère en rejoignant les points de manière lisse.