Exercice 10

Exercice

Soit l’application \(f\) définie par : \[ f(x)=\frac{1}{x} \]

  1. Déterminez l’ensemble de départ de \(f\).
  2. À l’aide d’une calculatrice et sur une feuille de papier millimétré, tracez le graphique de \(f\).

Réponse

Réponse très courte :

L’ensemble de départ de f est ℝ∖{0}. Le graphique de f(x) = 1/x présente une symétrie par rapport à l’origine, avec une branche pour x > 0 et une pour x < 0, se rapprochant de l’asymptote verticale x = 0 et de l’asymptote horizontale y = 0.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.


1. Détermination de l’ensemble de départ (domaine de définition)

L’application est définie par \[ f(x)=\frac{1}{x}. \]

Pour savoir quand cette fonction est définie, il faut regarder quels sont les nombres pour lesquels l’expression \(\frac{1}{x}\) a un sens en mathématiques. En général, la division par zéro n’est pas possible.

Étape 1 : Identifier l’opération problématique
La fonction pose problème lorsque le dénominateur est nul, c’est-à-dire pour la valeur de \(x\) qui rend \(x=0\).

Étape 2 : Exclure la valeur problématique
On ne peut pas avoir \(x=0\). Ainsi, le domaine de définition est l’ensemble des réels sauf \(0\).

Conclusion :
L’ensemble de départ de \(f\) est : \[ \mathbb{R} \setminus \{0\}. \]


2. Tracé du graphique de \(f\)

Pour tracer le graphique de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x}\), nous allons suivre plusieurs étapes :

a) Comprendre le comportement de la fonction
  1. Symétrie :
    La fonction \(f(x)=\frac{1}{x}\) est une fonction impaire, ce qui signifie que \[ f(-x)=-f(x). \] Le graphique est symétrique par rapport à l’origine. Ainsi, pour chaque point \((x, y)\), il existe le point \((-x, -y)\).

  2. Points caractéristiques :
    Identifier quelques points que l’on peut calculer :

    • Pour \(x=1\) : \[ f(1)=\frac{1}{1}=1. \] On a donc le point \((1,1)\).
    • Pour \(x=2\) : \[ f(2)=\frac{1}{2}=0,5. \] On a donc le point \((2,0,5)\).
    • Pour \(x=-1\) : \[ f(-1)=\frac{1}{-1}=-1. \] On a donc le point \((-1,-1)\).
    • Pour \(x=-2\) : \[ f(-2)=\frac{1}{-2}=-0,5. \] On a donc le point \((-2,-0,5)\).
  3. Asymptotes :

    • Asymptote verticale :
      Comme nous ne pouvons pas évaluer \(f(0)\), il existe une asymptote verticale en \(x=0\). Le graphique se rapproche de cette droite sans jamais la toucher.

    • Asymptote horizontale :
      Pour les grandes valeurs de \(x\) (en valeur absolue), \(f(x)=\frac{1}{x}\) se rapproche de la valeur 0. Ainsi, la droite horizontale \(y=0\) est une asymptote.

b) Tracer le graphique à l’aide d’une calculatrice et d’une feuille de papier millimétré
  1. Préparer la feuille :
    Utilisez une feuille de papier millimétré pour tracer un repère orthonormé avec l’axe horizontal (axe des \(x\)) et l’axe vertical (axe des \(y\)). Marquez clairement l’origine (0,0).

  2. Tracer les asymptotes :

    • Tracez une droite verticale en pointillé passant par \(x=0\).
    • Tracez une droite horizontale en pointillé passant par \(y=0\).
  3. Placer des points :
    À l’aide de la calculatrice, calculez quelques valeurs de \(f(x)\) pour différentes valeurs de \(x\) positives et négatives :

    • Par exemple, pour \(x = 0.5\), \(f(0.5)=2\) (le point \((0.5, 2)\)).
    • Pour \(x= -0.5\), \(f(-0.5)=-2\) (le point \((-0.5, -2)\)).
    • Continuez avec d’autres valeurs comme \(x=1\), \(2\), \(-1\), \(-2\) déjà calculées précédemment.
  4. Relier les points pour obtenir la courbe :
    Reliez les points en formant deux branches :

    • Une branche pour \(x>0\) qui se situe dans le premier quadrant (pour \(x>0\), \(f(x)>0\)). Cette branche s’approche de la droite \(x=0\) sans la toucher et se rapproche de \(y=0\) pour de grandes valeurs de \(x\).
    • Une branche pour \(x<0\) qui se situe dans le troisième quadrant (pour \(x<0\), \(f(x)<0\)). Cette branche présente un comportement similaire en symétrie par rapport à l’origine.
  5. Vérification finale :
    Vérifiez que le graphique est symétrique par rapport à l’origine et que les branches se rapprochent bien des asymptotes \(x=0\) et \(y=0\).


Résumé de la solution
  1. Ensemble de départ :
    \[ \mathbb{R} \setminus \{0\} \] (tous les réels sauf zéro).

  2. Graphique de \(f(x)=\frac{1}{x}\) :

    • La fonction est impaire (symétrie par rapport à l’origine).
    • Droite verticale asymptotique en \(x=0\).
    • Droite horizontale asymptotique en \(y=0\).
    • Tracer les points à l’aide d’une calculatrice puis relier pour obtenir deux branches (une dans le premier quadrant et l’autre dans le troisième quadrant).

Cette démarche permet de comprendre à la fois la définition du domaine et la manière de représenter graphiquement la fonction sur une feuille de papier millimétré.

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