Exercice
Soit l’application \(f\) définie par : \[ f(x)=\frac{1}{x} \]
Réponse très courte :
L’ensemble de départ de f est ℝ∖{0}. Le graphique de f(x) = 1/x présente une symétrie par rapport à l’origine, avec une branche pour x > 0 et une pour x < 0, se rapprochant de l’asymptote verticale x = 0 et de l’asymptote horizontale y = 0.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
L’application est définie par \[ f(x)=\frac{1}{x}. \]
Pour savoir quand cette fonction est définie, il faut regarder quels sont les nombres pour lesquels l’expression \(\frac{1}{x}\) a un sens en mathématiques. En général, la division par zéro n’est pas possible.
Étape 1 : Identifier l’opération problématique
La fonction pose problème lorsque le dénominateur est nul, c’est-à-dire
pour la valeur de \(x\) qui rend \(x=0\).
Étape 2 : Exclure la valeur problématique
On ne peut pas avoir \(x=0\). Ainsi, le
domaine de définition est l’ensemble des réels sauf \(0\).
Conclusion :
L’ensemble de départ de \(f\) est :
\[
\mathbb{R} \setminus \{0\}.
\]
Pour tracer le graphique de la fonction \(f(x)=\frac{1}{x}\), nous allons suivre plusieurs étapes :
Symétrie :
La fonction \(f(x)=\frac{1}{x}\) est
une fonction impaire, ce qui signifie que \[
f(-x)=-f(x).
\] Le graphique est symétrique par rapport à l’origine. Ainsi,
pour chaque point \((x, y)\), il existe
le point \((-x, -y)\).
Points caractéristiques :
Identifier quelques points que l’on peut calculer :
Asymptotes :
Asymptote verticale :
Comme nous ne pouvons pas évaluer \(f(0)\), il existe une asymptote verticale
en \(x=0\). Le graphique se rapproche
de cette droite sans jamais la toucher.
Asymptote horizontale :
Pour les grandes valeurs de \(x\) (en
valeur absolue), \(f(x)=\frac{1}{x}\)
se rapproche de la valeur 0. Ainsi, la droite horizontale \(y=0\) est une asymptote.
Préparer la feuille :
Utilisez une feuille de papier millimétré pour tracer un repère
orthonormé avec l’axe horizontal (axe des \(x\)) et l’axe vertical (axe des \(y\)). Marquez clairement l’origine
(0,0).
Tracer les asymptotes :
Placer des points :
À l’aide de la calculatrice, calculez quelques valeurs de \(f(x)\) pour différentes valeurs de \(x\) positives et négatives :
Relier les points pour obtenir la courbe :
Reliez les points en formant deux branches :
Vérification finale :
Vérifiez que le graphique est symétrique par rapport à l’origine et que
les branches se rapprochent bien des asymptotes \(x=0\) et \(y=0\).
Ensemble de départ :
\[
\mathbb{R} \setminus \{0\}
\] (tous les réels sauf zéro).
Graphique de \(f(x)=\frac{1}{x}\) :
Cette démarche permet de comprendre à la fois la définition du domaine et la manière de représenter graphiquement la fonction sur une feuille de papier millimétré.