Exercice
Soit la fonction \(h : \mathbb{R} \to
\mathbb{R}\) définie par
\[
h(x) = -x^2 + 1.
\]
Calculer les valeurs de \(h\)
pour
\[
x = 0,\; -1,\; 1,\; -2,\; 2,\; -3,\; 3,\; -0.5,\; 0.5.
\]
Représenter ensuite la courbe de la fonction \(h\) dans le plan.
Soit les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) définies par
\[
\begin{aligned}
f(x) &= 2x^2 - 3x, \\
g(x) &= -x^2 + 2, \\
h(x) &= -5x^2 + 2x - 4.
\end{aligned}
\]
Calculer les valeurs de \(f(x)\), \(g(x)\) et \(h(x)\) pour
\[
x = -4,\; -3,\; 2,\; 0.5.
\]
Pour h(x) = –x² + 1, on a h(0) = 1, h(±1) = 0, h(±2) = –3 et h(±3) = –8 ; la courbe est une parabole ouverte vers le bas avec sommet (0, 1) et symétrique par rapport à l’axe vertical. Pour f(x) = 2x² – 3x, g(x) = –x² + 2 et h(x) = –5x² + 2x – 4, les valeurs sont :
• x = –4 : f(–4) = 44, g(–4) = –14, h(–4) = –92
• x = –3 : f(–3) = 27, g(–3) = –7, h(–3) = –55
• x = 2 : f(2) = 2, g(2) = –2, h(2) = –20
• x = 0.5 : f(0.5) = –1, g(0.5) = 1.75, h(0.5) = –4.25.
Nous allons procéder par étapes pour résoudre cet exercice.
Pour chaque valeur de \(x\), nous
remplaçons dans la formule
\[
h(x) = -x^2 + 1.
\]
Pour \(x = 0\)
:
\[
h(0) = -(0)^2 + 1 = 0 + 1 = 1.
\]
Pour \(x = -1\)
:
\[
h(-1) = -((-1)^2) + 1 = -1 + 1 = 0.
\]
Pour \(x = 1\)
:
\[
h(1) = -(1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0.
\]
Pour \(x = -2\)
:
\[
h(-2) = -((-2)^2) + 1 = -4 + 1 = -3.
\]
Pour \(x = 2\)
:
\[
h(2) = -(2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3.
\]
Pour \(x = -3\)
:
\[
h(-3) = -((-3)^2) + 1 = -9 + 1 = -8.
\]
Pour \(x = 3\)
:
\[
h(3) = -(3)^2 + 1 = -9 + 1 = -8.
\]
Pour \(x = -0.5\)
:
\[
h(-0.5) = -((-0.5)^2) + 1 = -0.25 + 1 = 0.75.
\]
Pour \(x = 0.5\)
:
\[
h(0.5) = -(0.5)^2 + 1 = -0.25 + 1 = 0.75.
\]
La fonction \(h(x) = -x^2 + 1\) est
une parabole dont l’axe de symétrie est vertical.
- Forme générale : \(ax^2 +
bx + c\)
Ici, \(a = -1\), \(b = 0\), et \(c =
1\).
Sens de la courbe :
Comme \(a\) est négatif, la parabole
est orientée vers le bas (elle possède un maximum).
Sommet de la parabole :
Le sommet se trouve en \(\left( -\frac{b}{2a},
h\left(-\frac{b}{2a}\right) \right)\).
Comme \(b = 0\), le sommet est en \((0, h(0))\), c’est-à-dire en \((0, 1)\).
Symétrie :
La parabole est symétrique par rapport à l’axe vertical passant par
\(x=0\).
Pour la représentation dans le plan, il suffit de tracer ces points calculés :
\[ \begin{array}{c|c} x & h(x) \\ \hline -3 & -8 \\ -2 & -3 \\ -1 & 0 \\ -0.5 & 0.75 \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 0.75 \\ 1 & 0 \\ 2 & -3 \\ 3 & -8 \\ \end{array} \]
Ensuite, on trace une courbe lisse passant par ces points, formant une parabole avec sommet \((0,1)\).
On considère désormais les fonctions définies par :
\[ \begin{aligned} f(x) &= 2x^2 - 3x, \\ g(x) &= -x^2 + 2, \\ h(x) &= -5x^2 + 2x - 4. \end{aligned} \]
Nous allons calculer ces fonctions pour les valeurs de \(x = -4,\; -3,\; 2,\; 0.5\).
Pour \(x = -4\)
:
\[
f(-4) = 2 \times (-4)^2 - 3 \times (-4) = 2 \times 16 + 12 = 32 + 12 =
44.
\]
Pour \(x = -3\)
:
\[
f(-3) = 2 \times (-3)^2 - 3 \times (-3) = 2 \times 9 + 9 = 18 + 9 = 27.
\]
Pour \(x = 2\)
:
\[
f(2) = 2 \times 2^2 - 3 \times 2 = 2 \times 4 - 6 = 8 - 6 = 2.
\]
Pour \(x = 0.5\)
:
\[
f(0.5) = 2 \times (0.5)^2 - 3 \times 0.5 = 2 \times 0.25 - 1.5 = 0.5 -
1.5 = -1.
\]
Pour \(x = -4\)
:
\[
g(-4) = -(-4)^2 + 2 = -16 + 2 = -14.
\]
Pour \(x = -3\)
:
\[
g(-3) = -(-3)^2 + 2 = -9 + 2 = -7.
\]
Pour \(x = 2\)
:
\[
g(2) = -(2)^2 + 2 = -4 + 2 = -2.
\]
Pour \(x = 0.5\)
:
\[
g(0.5) = -(0.5)^2 + 2 = -0.25 + 2 = 1.75.
\]
Pour \(x = -4\)
:
\[
h(-4) = -5\times(-4)^2 + 2\times(-4) - 4 = -5\times 16 - 8 - 4 = -80 - 8
- 4 = -92.
\]
Pour \(x = -3\)
:
\[
h(-3) = -5\times(-3)^2 + 2\times(-3) - 4 = -5\times 9 - 6 - 4 = -45 - 6
- 4 = -55.
\]
Pour \(x = 2\)
:
\[
h(2) = -5\times2^2 + 2\times2 - 4 = -5\times 4 + 4 - 4 = -20 + 4 - 4 =
-20.
\]
Pour \(x = 0.5\)
:
\[
h(0.5) = -5\times(0.5)^2 + 2\times0.5 - 4 = -5\times 0.25 + 1 - 4 =
-1.25 + 1 - 4 = -4.25.
\]
\[ \begin{array}{c|c} x & h(x) \\ \hline -3 & -8 \\ -2 & -3 \\ -1 & 0 \\ -0.5 & 0.75 \\ 0 & 1 \\ 0.5 & 0.75 \\ 1 & 0 \\ 2 & -3 \\ 3 & -8 \\ \end{array} \]
La courbe représentative est une parabole orientée vers le bas avec sommet en \((0, 1)\).
\[ \begin{array}{c|c|c|c} x & f(x)=2x^2-3x & g(x)=-x^2+2 & h(x)=-5x^2+2x-4 \\ \hline -4 & 44 & -14 & -92 \\ -3 & 27 & -7 & -55 \\ 2 & 2 & -2 & -20 \\ 0.5 & -1 & 1.75 & -4.25 \\ \end{array} \]
Nous avons donc, étape par étape :
Chaque étape a été détaillée pour montrer comment effectuer les remplacements et simplifier les expressions.