Exercice 8

Exercice

On définit la fonction \(m : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) par \[ m(x) = -x^2. \]

  1. Calculer les valeurs suivantes : \(m(0)\), \(m(-1)\), \(m(1)\), \(m(-2)\), \(m(2)\), \(m(-3)\), \(m(3)\), \(m(-0,5)\) et \(m(0,5)\).

  2. Représenter graphiquement la fonction \(m\).

Réponse

Pour m(x) = -x², on obtient : • m(0) = 0, m(±1) = -1, m(±2) = -4, m(±3) = -9, et m(±0,5) = -0,25. De plus, la courbe est une parabole symétrique par rapport à l’axe y, de sommet (0,0) et ouverte vers le bas.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.


1. Calcul des valeurs de la fonction

On a la fonction définie par
\[ m(x) = -x^2. \]

Nous allons calculer \(m(x)\) pour plusieurs valeurs de \(x\).

a) Pour \(x = 0\) :
  1. On substitue \(x = 0\) dans la fonction : \[ m(0) = -0^2. \]
  2. Calculons \(0^2\) : \[ 0^2 = 0. \]
  3. Puis, \(m(0) = -0 = 0\).

Donc,
\[ m(0) = 0. \]


b) Pour \(x = -1\) :
  1. Substituons \(x = -1\) : \[ m(-1) = -(-1)^2. \]
  2. Calculons \((-1)^2\) : \[ (-1)^2 = 1. \]
  3. Ainsi, \(m(-1) = -1\).

Donc,
\[ m(-1) = -1. \]


c) Pour \(x = 1\) :
  1. Substituons \(x = 1\) : \[ m(1) = -(1)^2. \]
  2. Calculons \(1^2\) : \[ 1^2 = 1. \]
  3. Donc, \(m(1) = -1\).

Donc,
\[ m(1) = -1. \]


d) Pour \(x = -2\) :
  1. Substituons \(x = -2\) : \[ m(-2) = -(-2)^2. \]
  2. Calculons \((-2)^2\) : \[ (-2)^2 = 4. \]
  3. Ainsi, \(m(-2) = -4\).

Donc,
\[ m(-2) = -4. \]


e) Pour \(x = 2\) :
  1. Substituons \(x = 2\) : \[ m(2) = -(2)^2. \]
  2. Calculons \(2^2\) : \[ 2^2 = 4. \]
  3. Donc, \(m(2) = -4\).

Donc,
\[ m(2) = -4. \]


f) Pour \(x = -3\) :
  1. Substituons \(x = -3\) : \[ m(-3) = -(-3)^2. \]
  2. Calculons \((-3)^2\) : \[ (-3)^2 = 9. \]
  3. Donc, \(m(-3) = -9\).

Donc,
\[ m(-3) = -9. \]


g) Pour \(x = 3\) :
  1. Substituons \(x = 3\) : \[ m(3) = -(3)^2. \]
  2. Calculons \(3^2\) : \[ 3^2 = 9. \]
  3. Ainsi, \(m(3) = -9\).

Donc,
\[ m(3) = -9. \]


h) Pour \(x = -0,5\) :
  1. Substituons \(x = -0,5\) : \[ m(-0,5) = -(-0,5)^2. \]
  2. Calculons \((-0,5)^2\) : \[ (-0,5)^2 = 0,25. \]
  3. Ainsi, \(m(-0,5) = -0,25\).

Donc,
\[ m(-0,5) = -0,25. \]


i) Pour \(x = 0,5\) :
  1. Substituons \(x = 0,5\) : \[ m(0,5) = -(0,5)^2. \]
  2. Calculons \((0,5)^2\) : \[ (0,5)^2 = 0,25. \]
  3. Donc, \(m(0,5) = -0,25\).

Donc,
\[ m(0,5) = -0,25. \]


2. Représentation graphique de la fonction

a) Nature de la fonction

La fonction est définie par
\[ m(x) = -x^2. \] On remarque que c’est une fonction polynomiale de degré 2. En général, une fonction de la forme \(f(x) = ax^2\) représente une parabole :

Ici, \(a = -1\) donc la parabole est ouverte vers le bas.

b) Caractéristiques de la parabole
c) Tracé de la parabole

Pour représenter la fonction graphiquement :

  1. On trace un repère avec un axe horizontal \(x\) et un axe vertical \(y\).

  2. Nous plaçons le sommet en \((0, 0)\).

  3. Puis, nous reportons quelques points déjà calculés :

    • \((-1, -1)\) et \((1, -1)\)
    • \((-2, -4)\) et \((2, -4)\)
    • \((-3, -9)\) et \((3, -9)\)
    • \((-0,5, -0,25)\) et \((0,5, -0,25)\)
  4. Ces points permettent de bien visualiser la forme de la parabole.

  5. Enfin, on trace la courbe lisse qui relie ces points en formant une parabole ouverte vers le bas.

On peut ajouter quelques indications sur le graphique :


Conclusion

Les valeurs calculées de la fonction sont :

Et la représentation graphique montre une parabole symétrique par rapport à l’axe \(y\) avec un sommet en \((0,0)\) et une ouverture vers le bas.

Ainsi, vous avez toutes les étapes pour arriver à la solution de cet exercice.

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