Exercice 7

Soit l’application \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ k(x) = 2x^2. \]

  1. Calculer \(k(0)\), \(k(-1)\), \(k(1)\), \(k(-2)\), \(k(2)\), \(k(-0,5)\), \(k(0,5)\), \(k(-3)\) et \(k(3)\).

  2. Représenter graphiquement \(k\).

Réponse

k(0)=0, k(±1)=2, k(±2)=8, k(±0,5)=0,5, k(±3)=18. La parabole de k(x)=2x² a son sommet en (0,0), s’ouvre vers le haut et est symétrique par rapport à l’axe vertical.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.


1) Calcul de quelques valeurs de \(k(x)\)

L’application est définie par \[ k(x) = 2x^2. \] Pour chaque valeur proposée, nous remplaçons \(x\) par cette valeur puis nous effectuons le calcul.

a) Calcul de \(k(0)\)

Remplaçons \(x\) par \(0\) : \[ k(0) = 2 \times 0^2. \] On sait que \(0^2 = 0\). Ainsi : \[ k(0) = 2 \times 0 = 0. \]

b) Calcul de \(k(-1)\)

Remplaçons \(x\) par \(-1\) : \[ k(-1) = 2 \times (-1)^2. \] On calcule : \[ (-1)^2 = 1, \] donc \[ k(-1) = 2 \times 1 = 2. \]

c) Calcul de \(k(1)\)

Remplaçons \(x\) par \(1\) : \[ k(1) = 2 \times 1^2. \] On a : \[ 1^2 = 1, \] alors : \[ k(1) = 2 \times 1 = 2. \]

d) Calcul de \(k(-2)\)

Remplaçons \(x\) par \(-2\) : \[ k(-2) = 2 \times (-2)^2. \] Calculons : \[ (-2)^2 = 4, \] donc : \[ k(-2) = 2 \times 4 = 8. \]

e) Calcul de \(k(2)\)

Remplaçons \(x\) par \(2\) : \[ k(2) = 2 \times 2^2. \] Puisque \(2^2 = 4\), on a : \[ k(2) = 2 \times 4 = 8. \]

f) Calcul de \(k(-0,5)\)

Remplaçons \(x\) par \(-0,5\) : \[ k(-0,5) = 2 \times (-0,5)^2. \] Calculons : \[ (-0,5)^2 = 0,25, \] donc : \[ k(-0,5) = 2 \times 0,25 = 0,5. \]

g) Calcul de \(k(0,5)\)

Remplaçons \(x\) par \(0,5\) : \[ k(0,5) = 2 \times 0,5^2. \] Ici, \(0,5^2 = 0,25\), ainsi : \[ k(0,5) = 2 \times 0,25 = 0,5. \]

h) Calcul de \(k(-3)\)

Remplaçons \(x\) par \(-3\) : \[ k(-3) = 2 \times (-3)^2. \] Calculons : \[ (-3)^2 = 9, \] donc : \[ k(-3) = 2 \times 9 = 18. \]

i) Calcul de \(k(3)\)

Remplaçons \(x\) par \(3\) : \[ k(3) = 2 \times 3^2. \] Puisque \(3^2 = 9\), alors : \[ k(3) = 2 \times 9 = 18. \]

Résumé des calculs

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & k(x) \\ \hline -3 & 18 \\ -2 & 8 \\ -1 & 2 \\ -0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 \\ 0,5 & 0,5 \\ 1 & 2 \\ 2 & 8 \\ 3 & 18 \\ \hline \end{array} \]


2) Représentation graphique de \(k\)

La fonction \(k(x) = 2x^2\) est une fonction du deuxième degré, c’est-à-dire une parabole dont l’axe de symétrie est la droite verticale \(x = 0\).

Caractéristiques de la parabole
Étapes pour tracer la parabole
  1. Tracer les axes
    Dessinez un repère avec l’axe des abscisses (horizontal) et l’axe des ordonnées (vertical).

  2. Placer le sommet
    Placez le point \((0,0)\) qui est le sommet.

  3. Tracer quelques points
    Utilisez les valeurs calculées précédemment pour placer les points :

    • \((-3, 18)\) et \((3, 18)\)
    • \((-2, 8)\) et \((2, 8)\)
    • \((-1, 2)\) et \((1, 2)\)
    • \((-0,5, 0,5)\) et \((0,5, 0,5)\)
    • \((0,0)\) est déjà le sommet.
  4. Relier les points
    Dessinez la courbe en reliant doucement les points pour former une parabole qui s’ouvre vers le haut.

Représentation schématique

Voici une description de ce à quoi peut ressembler la parabole :

     |
 18 ●       ●  (3,18) et (-3,18)
     |
 16 |      
     |
 14 |
     |
 12 |
     |
 10 |
     |
  8 ●   ●   (2,8) et (-2,8)
     |
  6 |   
     |
  4 |   
     |
  2 ● ●      (1,2) et (-1,2)
     |
  0 ●--------●--------
    -3 -2 -1  0  1  2  3

Bien sûr, sur du papier quadrillé, on relierait ces points avec une courbe lisse symétrique par rapport à l’axe vertical.


Conclusion

Nous avons :

  1. Calculé les valeurs de \(k(x) = 2x^2\) pour plusieurs valeurs de \(x\) :

    • \(k(0) = 0\)
    • \(k(-1) = 2\)
    • \(k(1) = 2\)
    • \(k(-2) = 8\)
    • \(k(2) = 8\)
    • \(k(-0,5) = 0,5\)
    • \(k(0,5) = 0,5\)
    • \(k(-3) = 18\)
    • \(k(3) = 18\)
  2. Représenté graphiquement la fonction en traçant son sommet, quelques points de la parabole, et en reliant ces points pour obtenir une courbe lisse qui s’ouvre vers le haut.

Cette démarche permet de comprendre à la fois le calcul des valeurs d’une fonction quadratique et la méthode pour tracer sa représentation graphique.

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