Soit l’application \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \[ k(x) = 2x^2. \]
Calculer \(k(0)\), \(k(-1)\), \(k(1)\), \(k(-2)\), \(k(2)\), \(k(-0,5)\), \(k(0,5)\), \(k(-3)\) et \(k(3)\).
Représenter graphiquement \(k\).
k(0)=0, k(±1)=2, k(±2)=8, k(±0,5)=0,5, k(±3)=18. La parabole de k(x)=2x² a son sommet en (0,0), s’ouvre vers le haut et est symétrique par rapport à l’axe vertical.
Voici la correction détaillée de l’exercice.
L’application est définie par \[ k(x) = 2x^2. \] Pour chaque valeur proposée, nous remplaçons \(x\) par cette valeur puis nous effectuons le calcul.
Remplaçons \(x\) par \(0\) : \[ k(0) = 2 \times 0^2. \] On sait que \(0^2 = 0\). Ainsi : \[ k(0) = 2 \times 0 = 0. \]
Remplaçons \(x\) par \(-1\) : \[ k(-1) = 2 \times (-1)^2. \] On calcule : \[ (-1)^2 = 1, \] donc \[ k(-1) = 2 \times 1 = 2. \]
Remplaçons \(x\) par \(1\) : \[ k(1) = 2 \times 1^2. \] On a : \[ 1^2 = 1, \] alors : \[ k(1) = 2 \times 1 = 2. \]
Remplaçons \(x\) par \(-2\) : \[ k(-2) = 2 \times (-2)^2. \] Calculons : \[ (-2)^2 = 4, \] donc : \[ k(-2) = 2 \times 4 = 8. \]
Remplaçons \(x\) par \(2\) : \[ k(2) = 2 \times 2^2. \] Puisque \(2^2 = 4\), on a : \[ k(2) = 2 \times 4 = 8. \]
Remplaçons \(x\) par \(-0,5\) : \[ k(-0,5) = 2 \times (-0,5)^2. \] Calculons : \[ (-0,5)^2 = 0,25, \] donc : \[ k(-0,5) = 2 \times 0,25 = 0,5. \]
Remplaçons \(x\) par \(0,5\) : \[ k(0,5) = 2 \times 0,5^2. \] Ici, \(0,5^2 = 0,25\), ainsi : \[ k(0,5) = 2 \times 0,25 = 0,5. \]
Remplaçons \(x\) par \(-3\) : \[ k(-3) = 2 \times (-3)^2. \] Calculons : \[ (-3)^2 = 9, \] donc : \[ k(-3) = 2 \times 9 = 18. \]
Remplaçons \(x\) par \(3\) : \[ k(3) = 2 \times 3^2. \] Puisque \(3^2 = 9\), alors : \[ k(3) = 2 \times 9 = 18. \]
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline x & k(x) \\ \hline -3 & 18 \\ -2 & 8 \\ -1 & 2 \\ -0,5 & 0,5 \\ 0 & 0 \\ 0,5 & 0,5 \\ 1 & 2 \\ 2 & 8 \\ 3 & 18 \\ \hline \end{array} \]
La fonction \(k(x) = 2x^2\) est une fonction du deuxième degré, c’est-à-dire une parabole dont l’axe de symétrie est la droite verticale \(x = 0\).
Ouverture :
Le coefficient devant \(x^2\) est \(2\) qui est positif, donc la parabole
s’ouvre vers le haut.
Sommet :
Pour une fonction de la forme \(ax^2\)
avec \(a > 0\), le sommet est à
l’origine, c’est-à-dire au point \((0,0)\).
Symétrie :
La parabole est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (la droite
\(x = 0\)).
Cela signifie que pour chaque \(x\),
\(k(x) = k(-x)\).
Tracer les axes
Dessinez un repère avec l’axe des abscisses (horizontal) et l’axe des
ordonnées (vertical).
Placer le sommet
Placez le point \((0,0)\) qui est le
sommet.
Tracer quelques points
Utilisez les valeurs calculées précédemment pour placer les points :
Relier les points
Dessinez la courbe en reliant doucement les points pour former une
parabole qui s’ouvre vers le haut.
Voici une description de ce à quoi peut ressembler la parabole :
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18 ● ● (3,18) et (-3,18)
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16 |
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14 |
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12 |
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10 |
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8 ● ● (2,8) et (-2,8)
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6 |
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4 |
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2 ● ● (1,2) et (-1,2)
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0 ●--------●--------
-3 -2 -1 0 1 2 3
Bien sûr, sur du papier quadrillé, on relierait ces points avec une courbe lisse symétrique par rapport à l’axe vertical.
Nous avons :
Calculé les valeurs de \(k(x) = 2x^2\) pour plusieurs valeurs de \(x\) :
Représenté graphiquement la fonction en traçant son sommet, quelques points de la parabole, et en reliant ces points pour obtenir une courbe lisse qui s’ouvre vers le haut.
Cette démarche permet de comprendre à la fois le calcul des valeurs d’une fonction quadratique et la méthode pour tracer sa représentation graphique.