Exercice 6

Exercice

Soit la fonction \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ g(x) = x^2 - 3. \]

  1. Calculer les valeurs suivantes : \[ g(0), \quad g(-1), \quad g(1), \quad g(-2), \quad g(2), \quad g(-0.5), \quad g(0.5), \quad g(-3), \quad g(3). \]

  2. Donner la représentation graphique de la fonction \(g\).

Réponse

Valeurs de g(x) : g(0) = –3, g(–1) = –2, g(1) = –2, g(–2) = 1, g(2) = 1, g(–0.5) = –2,75, g(0.5) = –2,75, g(–3) = 6, g(3) = 6.
Le graphique de g(x) = x² – 3 est une parabole ouverte vers le haut, avec son sommet en (0, –3) et symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Corrigé détaillé

Nous allons détailler pas à pas la résolution de l’exercice.


1. Calcul des valeurs de \(g(x) = x^2 - 3\)

Pour chaque valeur de \(x\), nous devons remplacer \(x\) par la valeur donnée dans l’expression \(x^2 - 3\).

  1. Calcul de \(g(0)\) :
    \[ g(0) = 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3. \]

  2. Calcul de \(g(-1)\) :
    \[ g(-1) = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2. \]

  3. Calcul de \(g(1)\) :
    \[ g(1) = 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2. \]

  4. Calcul de \(g(-2)\) :
    \[ g(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1. \]

  5. Calcul de \(g(2)\) :
    \[ g(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1. \]

  6. Calcul de \(g(-0.5)\) :
    \[ g(-0.5) = (-0.5)^2 - 3 = 0.25 - 3 = -2.75. \]

  7. Calcul de \(g(0.5)\) :
    \[ g(0.5) = (0.5)^2 - 3 = 0.25 - 3 = -2.75. \]

  8. Calcul de \(g(-3)\) :
    \[ g(-3) = (-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6. \]

  9. Calcul de \(g(3)\) :
    \[ g(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6. \]

Nous obtenons donc : - \(g(0) = -3\) - \(g(-1) = -2\) - \(g(1) = -2\) - \(g(-2) = 1\) - \(g(2) = 1\) - \(g(-0.5) = -2.75\) - \(g(0.5) = -2.75\) - \(g(-3) = 6\) - \(g(3) = 6\)


2. Représentation graphique de la fonction \(g(x) = x^2 - 3\)

La fonction \(g(x) = x^2 - 3\) est une fonction polynomiale du second degré. Voici les étapes pour représenter son graphique :

  1. Forme de la fonction :
    La fonction est de la forme \(x^2\) décalée verticalement.

    • Le terme \(x^2\) représente une parabole qui s’ouvre vers le haut.
    • Le terme \(-3\) signifie que toute la parabole est descendue de 3 unités par rapport à la parabole de \(x^2\).
  2. Le sommet de la parabole :
    Pour une fonction quadratique de la forme \(ax^2 + bx + c\), le sommet \((h, k)\) est donné par : \[ h = -\frac{b}{2a}, \quad k = g(h) \] Ici, \(a = 1\), \(b = 0\), et \(c = -3\).
    On trouve : \[ h = -\frac{0}{2 \times 1} = 0, \quad k = g(0) = -3. \] Donc, le sommet est le point \((0, -3)\).

  3. Symétrie de la parabole :
    La parabole est symétrique par rapport à l’axe vertical d’équation \(x = 0\).

  4. Points supplémentaires :
    Grâce aux calculs précédents, on peut placer plusieurs points sur le graphique :

    • \((-3, 6)\) et \((3, 6)\)
    • \((-2, 1)\) et \((2, 1)\)
    • \((-1, -2)\) et \((1, -2)\)
    • \((-0.5, -2.75)\) et \((0.5, -2.75)\)
    • Le sommet \((0, -3)\)
  5. Esquisse du graphique :

    • Tracez un repère avec l’axe horizontal (axe des \(x\)) et l’axe vertical (axe des \(y\)).
    • Placez le sommet à \((0, -3)\).
    • Marquez les points symétriques que nous avons calculés.
    • Reliez ces points par une courbe douce en formant une parabole qui s’ouvre vers le haut.
  6. Remarque sur la représentation :
    La parabole présente une ouverture vers le haut et ne présente pas de points de retournement. Les valeurs calculées permettent de mieux situer la courbe sur le repère.


Conclusion

Les réponses à l’exercice sont :

  1. Valeurs de \(g(x)\) :
    \[ \begin{aligned} g(0) &= -3, \quad g(-1) = -2, \quad g(1) = -2, \quad g(-2) = 1, \quad g(2) = 1,\\[1mm] g(-0.5) &= -2.75, \quad g(0.5) = -2.75, \quad g(-3) = 6, \quad g(3) = 6. \end{aligned} \]

  2. Représentation graphique :
    Le graphique est une parabole dont le sommet est en \((0, -3)\), symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, et qui passe par les points calculés. La courbe s’ouvre vers le haut.

Cette correction détaillée permet de comprendre comment effectuer les calculs et tracer le graphique d’une fonction quadratique pour un élève de collège.

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