Exercice
Soit la fonction \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ g(x) = x^2 - 3. \]
Calculer les valeurs suivantes : \[ g(0), \quad g(-1), \quad g(1), \quad g(-2), \quad g(2), \quad g(-0.5), \quad g(0.5), \quad g(-3), \quad g(3). \]
Donner la représentation graphique de la fonction \(g\).
Valeurs de g(x) : g(0) = –3, g(–1) = –2, g(1) = –2, g(–2) = 1, g(2) =
1, g(–0.5) = –2,75, g(0.5) = –2,75, g(–3) = 6, g(3) = 6.
Le graphique de g(x) = x² – 3 est une parabole ouverte vers le haut,
avec son sommet en (0, –3) et symétrique par rapport à l’axe des
ordonnées.
Nous allons détailler pas à pas la résolution de l’exercice.
Pour chaque valeur de \(x\), nous devons remplacer \(x\) par la valeur donnée dans l’expression \(x^2 - 3\).
Calcul de \(g(0)\)
:
\[
g(0) = 0^2 - 3 = 0 - 3 = -3.
\]
Calcul de \(g(-1)\)
:
\[
g(-1) = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2.
\]
Calcul de \(g(1)\)
:
\[
g(1) = 1^2 - 3 = 1 - 3 = -2.
\]
Calcul de \(g(-2)\)
:
\[
g(-2) = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1.
\]
Calcul de \(g(2)\)
:
\[
g(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1.
\]
Calcul de \(g(-0.5)\)
:
\[
g(-0.5) = (-0.5)^2 - 3 = 0.25 - 3 = -2.75.
\]
Calcul de \(g(0.5)\)
:
\[
g(0.5) = (0.5)^2 - 3 = 0.25 - 3 = -2.75.
\]
Calcul de \(g(-3)\)
:
\[
g(-3) = (-3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6.
\]
Calcul de \(g(3)\)
:
\[
g(3) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6.
\]
Nous obtenons donc : - \(g(0) = -3\) - \(g(-1) = -2\) - \(g(1) = -2\) - \(g(-2) = 1\) - \(g(2) = 1\) - \(g(-0.5) = -2.75\) - \(g(0.5) = -2.75\) - \(g(-3) = 6\) - \(g(3) = 6\)
La fonction \(g(x) = x^2 - 3\) est une fonction polynomiale du second degré. Voici les étapes pour représenter son graphique :
Forme de la fonction :
La fonction est de la forme \(x^2\)
décalée verticalement.
Le sommet de la parabole :
Pour une fonction quadratique de la forme \(ax^2 + bx + c\), le sommet \((h, k)\) est donné par : \[
h = -\frac{b}{2a}, \quad k = g(h)
\] Ici, \(a = 1\), \(b = 0\), et \(c =
-3\).
On trouve : \[
h = -\frac{0}{2 \times 1} = 0, \quad k = g(0) = -3.
\] Donc, le sommet est le point \((0,
-3)\).
Symétrie de la parabole :
La parabole est symétrique par rapport à l’axe vertical d’équation \(x = 0\).
Points supplémentaires :
Grâce aux calculs précédents, on peut placer plusieurs points sur le
graphique :
Esquisse du graphique :
Remarque sur la représentation :
La parabole présente une ouverture vers le haut et ne présente pas de
points de retournement. Les valeurs calculées permettent de mieux situer
la courbe sur le repère.
Les réponses à l’exercice sont :
Valeurs de \(g(x)\) :
\[
\begin{aligned}
g(0) &= -3, \quad g(-1) = -2, \quad g(1) = -2, \quad g(-2) = 1,
\quad g(2) = 1,\\[1mm]
g(-0.5) &= -2.75, \quad g(0.5) = -2.75, \quad g(-3) = 6, \quad g(3)
= 6.
\end{aligned}
\]
Représentation graphique :
Le graphique est une parabole dont le sommet est en \((0, -3)\), symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées, et qui passe par les points calculés. La courbe s’ouvre
vers le haut.
Cette correction détaillée permet de comprendre comment effectuer les calculs et tracer le graphique d’une fonction quadratique pour un élève de collège.