Soit la fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ f(x) = x^2. \] 1. Calculer les valeurs de \(f(0)\), \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f(-2)\), \(f(2)\), \(f(-0.5)\), \(f(0.5)\), \(f(-3)\) et \(f(3)\).
La fonction f(x) = x² donne f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9 (et de même pour leurs opposés). Son graphique est une parabole ouverte vers le haut, symétrique par rapport à l’axe vertical, avec son sommet en (0,0).
Nous allons corriger l’exercice en deux parties.
La fonction étudiée est \[ f(x) = x^2. \] Pour trouver \(f(x)\) pour différentes valeurs de \(x\), il suffit de remplacer \(x\) par la valeur donnée et de calculer \(x^2\). Rappel : élever un nombre au carré signifie multiplier ce nombre par lui-même.
Pour \(x = 0\) : \[ f(0) = 0^2 = 0 \times 0 = 0. \]
Pour \(x = -1\) : \[ f(-1) = (-1)^2 = (-1) \times (-1) = 1. \]
Pour \(x = 1\) : \[ f(1) = 1^2 = 1 \times 1 = 1. \]
Pour \(x = -2\) : \[ f(-2) = (-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4. \]
Pour \(x = 2\) : \[ f(2) = 2^2 = 2 \times 2 = 4. \]
Pour \(x = -0.5\) : \[ f(-0.5) = (-0.5)^2 = (-0.5) \times (-0.5) = 0.25. \]
Pour \(x = 0.5\) : \[ f(0.5) = 0.5^2 = 0.5 \times 0.5 = 0.25. \]
Pour \(x = -3\) : \[ f(-3) = (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9. \]
Pour \(x = 3\) : \[ f(3) = 3^2 = 3 \times 3 = 9. \]
Donc, les valeurs calculées sont : - \(f(0) = 0\) - \(f(-1) = 1\) - \(f(1) = 1\) - \(f(-2) = 4\) - \(f(2) = 4\) - \(f(-0.5) = 0.25\) - \(f(0.5) = 0.25\) - \(f(-3) = 9\) - \(f(3) = 9\)
La fonction \(f(x) = x^2\) est une fonction polynomiale de degré 2, dont le graphique est une parabole.
Ouverture vers le haut
La coefficient devant \(x^2\) est
positif (ici, \(1\)). Ainsi, la
parabole est ouverte vers le haut.
Symétrie par rapport à l’axe vertical
Comme \(f(x) = x^2\) ne change pas
lorsque \(x\) devient \(-x\) (puisque \((-x)^2 = x^2\)), la courbe est symétrique
par rapport à l’axe des ordonnées \((y\text{-axis})\). Tout point \((x, y)\) a son symétrique \((-x, y)\).
Le sommet de la parabole
Le sommet de la parabole est le point le plus bas de la courbe
lorsqu’elle ouvre vers le haut. Ici, le sommet est en \((0, 0)\).
Pour aider à dessiner la parabole, on peut utiliser les points calculés précédemment. Par exemple, nous avons : - \((0,0)\) - \((-1,1)\) et \((1,1)\) - \((-2,4)\) et \((2,4)\) - \((-3,9)\) et \((3,9)\)
Ces points montrent la symétrie de la courbe par rapport à l’axe vertical.
Un dessin de la courbe ressemblerait à ceci :
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9 • •
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4 • • •
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1 • • • •
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———•———•——— x | | Note : Ce schéma est une représentation approximative du graphique.
La représentation graphique de \(f(x) = x^2\) est une parabole ouverte vers le haut, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, avec son sommet en \((0,0)\). Elle passe par plusieurs points symétriques que nous avons calculés, comme \((-1, 1)\) et \((1, 1)\), \((-2, 4)\) et \((2, 4)\), etc.
Cette correction détaillée montre comment calculer les valeurs de la fonction \(f\) pour plusieurs \(x\) et décrit clairement la forme et les caractéristique de son graphique.