Exercice 5

Soit la fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ f(x) = x^2. \] 1. Calculer les valeurs de \(f(0)\), \(f(-1)\), \(f(1)\), \(f(-2)\), \(f(2)\), \(f(-0.5)\), \(f(0.5)\), \(f(-3)\) et \(f(3)\).

  1. Donner la représentation graphique de la fonction \(f\).

Réponse

La fonction f(x) = x² donne f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9 (et de même pour leurs opposés). Son graphique est une parabole ouverte vers le haut, symétrique par rapport à l’axe vertical, avec son sommet en (0,0).

Corrigé détaillé

Nous allons corriger l’exercice en deux parties.


Partie 1 : Calcul des valeurs

La fonction étudiée est \[ f(x) = x^2. \] Pour trouver \(f(x)\) pour différentes valeurs de \(x\), il suffit de remplacer \(x\) par la valeur donnée et de calculer \(x^2\). Rappel : élever un nombre au carré signifie multiplier ce nombre par lui-même.

  1. Pour \(x = 0\) : \[ f(0) = 0^2 = 0 \times 0 = 0. \]

  2. Pour \(x = -1\) : \[ f(-1) = (-1)^2 = (-1) \times (-1) = 1. \]

  3. Pour \(x = 1\) : \[ f(1) = 1^2 = 1 \times 1 = 1. \]

  4. Pour \(x = -2\) : \[ f(-2) = (-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4. \]

  5. Pour \(x = 2\) : \[ f(2) = 2^2 = 2 \times 2 = 4. \]

  6. Pour \(x = -0.5\) : \[ f(-0.5) = (-0.5)^2 = (-0.5) \times (-0.5) = 0.25. \]

  7. Pour \(x = 0.5\) : \[ f(0.5) = 0.5^2 = 0.5 \times 0.5 = 0.25. \]

  8. Pour \(x = -3\) : \[ f(-3) = (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9. \]

  9. Pour \(x = 3\) : \[ f(3) = 3^2 = 3 \times 3 = 9. \]

Donc, les valeurs calculées sont : - \(f(0) = 0\) - \(f(-1) = 1\) - \(f(1) = 1\) - \(f(-2) = 4\) - \(f(2) = 4\) - \(f(-0.5) = 0.25\) - \(f(0.5) = 0.25\) - \(f(-3) = 9\) - \(f(3) = 9\)


Partie 2 : Représentation graphique de la fonction

La fonction \(f(x) = x^2\) est une fonction polynomiale de degré 2, dont le graphique est une parabole.

Propriétés importantes du graphique :
  1. Ouverture vers le haut
    La coefficient devant \(x^2\) est positif (ici, \(1\)). Ainsi, la parabole est ouverte vers le haut.

  2. Symétrie par rapport à l’axe vertical
    Comme \(f(x) = x^2\) ne change pas lorsque \(x\) devient \(-x\) (puisque \((-x)^2 = x^2\)), la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées \((y\text{-axis})\). Tout point \((x, y)\) a son symétrique \((-x, y)\).

  3. Le sommet de la parabole
    Le sommet de la parabole est le point le plus bas de la courbe lorsqu’elle ouvre vers le haut. Ici, le sommet est en \((0, 0)\).

Tracé du graphique :

Pour aider à dessiner la parabole, on peut utiliser les points calculés précédemment. Par exemple, nous avons : - \((0,0)\) - \((-1,1)\) et \((1,1)\) - \((-2,4)\) et \((2,4)\) - \((-3,9)\) et \((3,9)\)

Ces points montrent la symétrie de la courbe par rapport à l’axe vertical.

Un dessin de la courbe ressemblerait à ceci :

     |
   9 •         •
     |
   4 •     •       •
     |
   1 •  •     •    •
     |

———•———•——— x | | Note : Ce schéma est une représentation approximative du graphique.

Conclusion sur la représentation graphique :

La représentation graphique de \(f(x) = x^2\) est une parabole ouverte vers le haut, symétrique par rapport à l’axe des ordonnées, avec son sommet en \((0,0)\). Elle passe par plusieurs points symétriques que nous avons calculés, comme \((-1, 1)\) et \((1, 1)\), \((-2, 4)\) et \((2, 4)\), etc.


Cette correction détaillée montre comment calculer les valeurs de la fonction \(f\) pour plusieurs \(x\) et décrit clairement la forme et les caractéristique de son graphique.

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