Exercice :
Soit \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \[ g(x) = x^2 + 1. \] Calculer \(g(x)\) pour : 1. \(x = 2\) 2. \(x = -3\) 3. \(x = 1\) 4. \(x = 0,5\) 5. \(x = -1,2\) 6. \(x = 0\)
Les résultats sont : g(2) = 5, g(–3) = 10, g(1) = 2, g(0,5) = 1,25, g(–1,2) = 2,44 et g(0) = 1.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
Énoncé :
On considère la fonction \(g : \mathbb{R}
\to \mathbb{R}\) définie par
\[
g(x) = x^2 + 1.
\] Nous devons calculer \(g(x)\)
pour différentes valeurs de \(x\).
Nous remplaçons \(x\) par 2 dans l’expression de \(g(x)\) :
\[ g(2) = 2^2 + 1. \]
Calculons \(2^2\) :
\[ 2^2 = 2 \times 2 = 4. \]
Ensuite, ajoutons 1 :
\[ g(2) = 4 + 1 = 5. \]
Remplaçons \(x\) par \(-3\) :
\[ g(-3) = (-3)^2 + 1. \]
Calculons \((-3)^2\) :
\[ (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9. \]
Puis ajoutons 1 :
\[ g(-3) = 9 + 1 = 10. \]
Remplaçons \(x\) par 1 :
\[ g(1) = 1^2 + 1. \]
Calculons \(1^2\) :
\[ 1^2 = 1 \times 1 = 1. \]
Ajoutons ensuite 1 :
\[ g(1) = 1 + 1 = 2. \]
Ici, \(x = 0,5\) (c’est-à-dire \(x = \frac{1}{2}\)). Remplaçons :
\[ g(0,5) = (0,5)^2 + 1. \]
Calculons \((0,5)^2\) :
\[ (0,5)^2 = 0,5 \times 0,5 = 0,25. \]
Ajoutons 1 :
\[ g(0,5) = 0,25 + 1 = 1,25. \]
Remplaçons \(x\) par \(-1,2\) :
\[ g(-1,2) = (-1,2)^2 + 1. \]
Calculons \((-1,2)^2\) :
\[ (-1,2)^2 = (-1,2) \times (-1,2) = 1,44. \]
Ajoutons 1 :
\[ g(-1,2) = 1,44 + 1 = 2,44. \]
Remplaçons \(x\) par 0 :
\[ g(0) = 0^2 + 1. \]
Calculons \(0^2\) :
\[ 0^2 = 0 \times 0 = 0. \]
Puis ajoutons 1 :
\[ g(0) = 0 + 1 = 1. \]
Récapitulatif des résultats :
Chaque étape consiste à substituer la valeur donnée dans l’expression
\(x^2 + 1\), calculer le carré puis
ajouter 1.
Cette méthode vous permet de trouver la valeur de \(g(x)\) pour n’importe quel \(x\) appartenant aux réels.