Question: Trouver l’aire maximale d’un rectangle dont le périmètre est de \(20\,\mathrm{cm}\).
L’aire maximale est de 25 cm², obtenue pour un carré de 5 cm de côté.
Nous voulons trouver l’aire maximale d’un rectangle dont le périmètre est de \(20\,\mathrm{cm}\).
Soit \(l\) la longueur et \(L\) la largeur du rectangle. Le périmètre \(P\) d’un rectangle est donné par : \[ P = 2(l + L) \] On a \(P = 20\,\mathrm{cm}\). Ainsi : \[ 2(l + L) = 20 \] Divisons par \(2\) : \[ l + L = 10 \] On peut exprimer \(L\) en fonction de \(l\) : \[ L = 10 - l \]
L’aire \(A\) d’un rectangle est donnée par : \[ A = l \times L \] Substituons \(L\) : \[ A(l) = l (10 - l) = 10l - l^2 \]
Pour trouver l’aire maximale, remarquons que l’expression \(A(l) = -l^2 + 10l\) est une fonction du second degré dont le coefficient devant \(l^2\) est négatif. Cela signifie que la parabole est orientée vers le bas et possède donc un maximum.
La formule pour trouver l’abscisse du sommet de la parabole est : \[ l_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} \] Dans notre cas, \(a = -1\) et \(b = 10\). Ainsi : \[ l_{\text{max}} = -\frac{10}{2 \times (-1)} = \frac{10}{2} = 5\,\mathrm{cm} \]
On trouve alors : \[ L = 10 - l = 10 - 5 = 5\,\mathrm{cm} \]
L’aire maximale se calcule en remplaçant \(l\) et \(L\) dans la formule de l’aire : \[ A_{\text{max}} = 5 \times 5 = 25\,\mathrm{cm}^2 \]
L’aire maximale d’un rectangle ayant un périmètre de \(20\,\mathrm{cm}\) est : \[ \boxed{25\,\mathrm{cm}^2} \]