Exercice 50

Le tableau suivant permet de convertir des degrés Celsius en degrés Fahrenheit.

Celsius	Fahrenheit
100	212
95	203
90	194
85	185
80	176
75	167
70	158
65	149
60	140
55	131
50	122
45	113
40	104
35	95
30	86
25	77
20	68
15	59
10	50
5	41
\(0-5\)	32
-10	23
-15	14
\(-17,8\)	5
-20	0
-25	-4
-30	-13
-35	-22
-40	-31
-45	-40
-50	-49
	-58

1. Tracer un graphique représentant les degrés Fahrenheit en fonction des degrés Celsius.

2. Les deux échelles sont-elles proportionnelles ?

3. Donner l’expression algébrique de la fonction qui transforme des degrés Celsius en degrés Fahrenheit.

4. Donner l’expression algébrique de la fonction qui transforme des degrés Fahrenheit en degrés Celsius.

Réponse

1. Graphique : tracer la droite passant par des points comme (100,212), (0,32) et (-10,23) dans un repère où l’axe x représente les degrés Celsius et l’axe y les degrés Fahrenheit.
2. Proportionnalité : non, car F = (9/5)C + 32 ne passe pas par l’origine.
3. Conversion °C → °F : F = (9/5)C + 32.
4. Conversion °F → °C : C = (5/9)(F – 32).

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de cet exercice.

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1. Tracer un graphique représentant les degrés Fahrenheit en fonction des degrés Celsius

Pour tracer le graphique, on va :

1. Choisir un repère
   • L’axe horizontal \(x\) représentera les degrés Celsius.
     
   • L’axe vertical \(y\) représentera les degrés Fahrenheit.
2. Placer les points
   D’après le tableau (en choisissant par exemple quelques points significatifs) :
   • Pour \(C = 100\), on a \(F = 212\). Le point est \((100, 212)\).
   • Pour \(C = 0\) (même si dans le tableau il y a une mention « \(0-5\) » pour 32°F, on sait que la conversion standard donne \(0^\circ\text{C} \to 32^\circ\text{F}\)).
     
   • Pour \(C = -10\), \(F = 23\) (point \((-10, 23)\)).
     
   • On peut placer plusieurs points du tableau pour obtenir une représentation précise.
3. Relier les points
   On remarque que la relation entre \(C\) et \(F\) est linéaire (on en déduit aussi l’expression algébrique ci-après).
   Tracez une droite passant par ces points. Cela signifie que lorsque \(C\) augmente régulièrement, \(F\) augmente également de manière régulière.

Remarque : La précision du graphique dépend du choix de l’échelle sur chacun des axes. On prendra par exemple une unité de \(1^\circ\) pour \(C\) et une unité appropriée pour \(F\).

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2. Les deux échelles sont-elles proportionnelles ?

Pour qu’une relation soit proportionnelle, la droite reliant les deux grandeurs doit passer par l’origine \((0,0)\).
L’expression standard de la conversion est :
\[ F = \frac{9}{5}C + 32 \] Ici, même si \(\frac{9}{5}\) est le coefficient multiplicateur, le nombre \(32\) est un terme constant. Cela signifie que quand \(C = 0\), on a \(F = 32\) et non \(F = 0\).

Conclusion :
Les deux échelles ne sont pas proportionnelles, car il existe une constante additive (32) qui décale la droite et celle-ci ne passe pas par l’origine.

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3. Donner l’expression algébrique de la fonction qui transforme des degrés Celsius en degrés Fahrenheit

La relation entre \(C\) et \(F\) est donnée par la formule : \[ F = \frac{9}{5}C + 32 \]

Étapes de la déduction :
- Le coefficient \(\frac{9}{5}\) indique comment change la température en Fahrenheit par rapport à une variation de \(1^\circ\text{C}\).
- Le terme constant \(32\) est la température en Fahrenheit correspondant à \(0^\circ\text{C}\).

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4. Donner l’expression algébrique de la fonction qui transforme des degrés Fahrenheit en degrés Celsius

Pour obtenir l’expression de \(C\) en fonction de \(F\), on part de l’expression :
\[ F = \frac{9}{5}C + 32 \] Puis on résout l’équation pour \(C\) :

1. Soustraire 32 des deux côtés : \[ F - 32 = \frac{9}{5}C \]

2. Multiplier par \(\frac{5}{9}\) pour isoler \(C\) : \[ C = \frac{5}{9}(F - 32) \]

Cette expression permet de convertir une température en degrés Fahrenheit en degrés Celsius.

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Résumé des réponses

1. Graphique :

   • Axe \(x\) pour \(C\), axe \(y\) pour \(F\).
     
   • Placer les points (par exemple, \((100, 212)\), \((0, 32)\), \((-10, 23)\), etc.) puis tracer la droite passant par ces points.

2. Proportionnalité :
   Les deux échelles ne sont pas proportionnelles car la relation est donnée par
   \[ F = \frac{9}{5}C + 32, \] qui ne passe pas par l’origine.

3. Conversion Celsius → Fahrenheit :
   \[ F = \frac{9}{5}C + 32 \]

4. Conversion Fahrenheit → Celsius :
   \[ C = \frac{5}{9}(F - 32) \]

Cette démarche vous permet de comprendre comment établir le graphique, vérifier la nature linéaire non proportionnelle de la relation, et trouver les expressions algébriques correspondantes.