Exercice 49
La banque « Petits-Sous » propose les prestations suivantes : -
Versement de \(4\%\) d’intérêts pour un
capital placé ; - Facturation de \(7\%\) d’intérêts pour un emprunt.
- Sur le même graphique, représenter les intérêts en fonction de la
somme (de 0 à 6000 fr) :
- Tracer la fonction des intérêts pour un placement en rouge ;
- Tracer la fonction des intérêts pour un emprunt en vert.
- Déterminer la différence d’intérêts (en fr) entre le placement et
l’emprunt d’un capital de 4000 fr.
Réponse
Pour un capital de 4000 fr, on a f(4000) = 160 fr et g(4000) = 280
fr, soit une différence de 120 fr entre l’emprunt et le placement. Sur
le graphique, on représente la droite rouge de f(x) = 0,04x et la droite
verte de g(x) = 0,07x.
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de l’exercice :
1. Représentation graphique
Nous devons représenter sur un même graphique deux fonctions qui
donnent les intérêts en fonction du capital investi ou emprunté.
a) Définition des fonctions
Soit \(x\) le montant du capital (en
francs), où \(0 \leq x \leq 6000\).
- Pour un placement, la banque verse \(4\%\) d’intérêts. La fonction
correspondante est : \[
f(x) = 0{,}04 \times x
\]
- Pour un emprunt, la banque facture \(7\%\) d’intérêts. La fonction
correspondante est : \[
g(x) = 0{,}07 \times x
\]
b) Points remarquables pour
le tracé
Calculons les valeurs aux bornes du graphique (pour \(x=6000\)) :
- Pour le placement (fonction rouge) : \[
f(6000) = 0{,}04 \times 6000 = 240 \quad \text{(en francs)}
\]
- Pour l’emprunt (fonction verte) : \[
g(6000) = 0{,}07 \times 6000 = 420 \quad \text{(en francs)}
\]
Sur l’axe des abscisses, \(x\)
variera de 0 à 6000. Sur l’axe des ordonnées, il est judicieux de
choisir une échelle allant de 0 à au moins 450 ou 500 pour pouvoir
placer les points.
c) Représentation graphique
- Tracez les axes :
- Axe des abscisses (en horizontal) pour le capital, avec \(x\) de 0 à 6000.
- Axe des ordonnées (en vertical) pour les intérêts, avec \(y\) de 0 à environ 500.
- Pour la fonction de placement \(f(x) =
0{,}04x\) (à tracer en rouge) :
- Placez le point \((0,0)\).
- Placez le point \((6000,240)\).
- Tracez une droite qui passe par ces deux points.
- Pour la fonction d’emprunt \(g(x) =
0{,}07x\) (à tracer en vert) :
- Placez le point \((0,0)\).
- Placez le point \((6000,420)\).
- Tracez une droite qui passe par ces deux points.
2. Différence
d’intérêts pour un capital de 4000 fr
Nous devons comparer les intérêts obtenus selon le placement et ceux
payés pour un emprunt lorsque le capital est de 4000 fr.
a) Calcul des intérêts
pour le placement
Pour un capital de 4000 fr, le calcul est : \[
f(4000) = 0{,}04 \times 4000 = 160 \quad \text{francs}
\]
b) Calcul des intérêts pour
l’emprunt
Pour un capital de 4000 fr, le calcul est : \[
g(4000) = 0{,}07 \times 4000 = 280 \quad \text{francs}
\]
c) Calcul de la différence
La différence d’intérêts entre l’emprunt et le placement se calcule
par : \[
\text{Différence} = g(4000) - f(4000) = 280 - 160 = 120 \quad
\text{francs}
\]
Cela montre que, pour un capital de 4000 fr, la différence entre les
intérêts facturés pour un emprunt et ceux versés pour un placement est
de 120 francs. Cette différence exprime l’écart entre le coût dû à un
emprunt et le bénéfice obtenu avec un placement.
Conclusion
- Sur le graphique, on représente :
- La droite rouge de la fonction \(f(x) =
0{,}04x\), passant par \((0,0)\)
et \((6000,240)\),
- La droite verte de la fonction \(g(x) =
0{,}07x\), passant par \((0,0)\)
et \((6000,420)\).
- Pour un capital de 4000 fr, la différence d’intérêts est de 120
francs.
Ainsi, la correction complète vous permet de comprendre comment
représenter graphiquement les deux fonctions et comment calculer la
différence d’intérêts pour un capital donné.