Exercice 48

Exercice

1. Réalisez le graphique de la fonction associant à une somme en francs français (FF) son prix en FS, en considérant des sommes variant de 0 à 300 FF.
2. Donnez l’expression algébrique de la fonction \(h\) qui associe à une somme en FF son prix en FS.
3. Calculez \(h(200)\), \(h(160)\) et \(h(500)\), puis interprétez ces résultats.

Réponse

La fonction est h(x) = x/5. Sur [0,300] FF, le graphique est la droite passant par (0, 0) et (300, 60). Ainsi, h(200) = 40 FS, h(160) = 32 FS, et h(500) = 100 FS.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice.

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Énoncé de l’exercice

On s’intéresse à la fonction \(h\) qui associe à une somme exprimée en francs français (FF) son prix exprimé en FS (francs suisses). On considère des sommes allant de 0 à 300 FF pour tracer le graphique. On demande :

1. De réaliser le graphique de la fonction sur l’intervalle [0 ; 300] FF.
2. De donner l’expression algébrique de \(h\).
3. De calculer \(h(200)\), \(h(160)\) et \(h(500)\) et d’interpréter ces résultats.

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Hypothèse de conversion

Pour cet exercice, nous considérons que le taux de conversion est le suivant :
\[ 1 \text{ FS} = 5 \text{ FF} \] Cela signifie qu’un prix en FS se trouve en divisant la somme en FF par 5. Autrement dit, la fonction \(h\) qui convertit une somme \(x\) en FF en son équivalent en FS s’exprime par : \[ h(x) = \frac{x}{5} \]

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1. Graphique de la fonction

Étapes pour réaliser le graphique :

• Axe horizontal (abscisses) : Représente la somme en FF.
  Nous considérons \(x\) variant de 0 à 300.
• Axe vertical (ordonnées) : Représente le prix en FS, c’est-à-dire \(h(x)\).

Points caractéristiques

• Lorsque \(x = 0\) :
  \[ h(0) = \frac{0}{5} = 0 \quad \text{(point : (0, 0))} \]
• Lorsque \(x = 300\) :
  \[ h(300) = \frac{300}{5} = 60 \quad \text{(point : (300, 60))} \]

On peut tracer une droite passant par ces deux points. Cette droite représente la fonction linéaire \(h(x) = \frac{x}{5}\).

Remarque : La représentation graphique est une droite qui part de l’origine et monte régulièrement, car pour chaque augmentation de 5 FF, le prix en FS augmente de 1.

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2. Expression algébrique de la fonction \(h\)

D’après le taux de conversion, la somme en FS est obtenue en divisant la somme en FF par 5. Ainsi, l’expression algébrique de la fonction est :

\[ \boxed{h(x) = \frac{x}{5}} \]

Cette formule signifie que pour toute somme \(x\) (en FF), le prix correspondant en FS est \(\frac{x}{5}\).

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3. Calculs et interprétations

Nous allons maintenant calculer les valeurs de \(h(x)\) pour \(x = 200\), \(160\) et \(500\).

a) Pour \(x = 200\) FF :

\[ h(200) = \frac{200}{5} = 40. \]

Interprétation :
Une somme de 200 FF correspond à 40 FS.

b) Pour \(x = 160\) FF :

\[ h(160) = \frac{160}{5} = 32. \]

Interprétation :
Une somme de 160 FF correspond à 32 FS.

c) Pour \(x = 500\) FF :

\[ h(500) = \frac{500}{5} = 100. \]

Interprétation :
Une somme de 500 FF correspond à 100 FS.

Remarque sur la valeur de \(h(500)\) :
Même si la représentation graphique se limite aux valeurs de \(x\) de 0 à 300 FF, il est tout de même possible d’utiliser la fonction pour toute valeur de \(x\). Ici, 500 FF, bien que supérieur à 300, est transformé par la même formule.

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Conclusion

Nous avons donc :

1. Graphique : La droite passant par les points (0, 0) et (300, 60) sur un repère, représentant la fonction \(h(x) = \frac{x}{5}\).
2. Expression algébrique : \(h(x) = \frac{x}{5}\).
3. Calculs :
   • \(h(200) = 40\) FS,
     
   • \(h(160) = 32\) FS,
     
   • \(h(500) = 100\) FS.

Ces résultats montrent comment la somme en francs français est convertie en francs suisses à l’aide du taux de conversion choisi.