Françoise souhaite dessiner le plan d’un appartement à l’échelle 1:50.
Tracez le graphique représentant la relation entre la longueur réelle en mètres (axe des abscisses) et la longueur sur le plan en centimètres (axe des ordonnées).
Donnez l’expression algébrique de l’application \(g\) qui associe à une longueur réelle \(x\) (en m) la longueur correspondante sur le plan (en cm).
Calculez \(g(2,5)\), \(g(3,2)\) et \(g(15)\) et expliquez le sens de ces valeurs.
La relation est linéaire : g(x) = 2x (avec x en m et g(x) en cm). Ainsi, g(2,5) = 5 cm, g(3,2) = 6,4 cm et g(15) = 30 cm.
Voici la correction complète et détaillée :
Nous souhaitons établir un graphique dont :
Rappel sur l’échelle :
L’échelle 1:50 signifie que 1 unité sur le plan correspond à 50
unités en réalité.
Cependant, ici les unités sont différentes :
- La longueur réelle \(x\) est exprimée
en mètres. - La longueur sur le plan sera exprimée en
centimètres.
Pour utiliser la même échelle, il faut remarquer que :
- \(1 \, \text{m} = 100 \,
\text{cm}\).
- L’échelle 1:50 veut dire qu’en réalité, 50 unités de 1 sur le
plan correspondent en fait à 50 centimètres.
Ainsi, 1 cm sur le plan représente 50 cm en réalité,
soit \(50 \, \text{cm} = 0,5 \,
\text{m}\).
Pour passer d’une longueur réelle \(x\) (en mètres) à une longueur sur le plan
(en cm), nous convertissons \(x\) en
centimètres, puis nous utilisons la relation de proportionnalité.
- On convertit \(x\) m en cm : \(x \text{ m} = 100x \text{ cm}\).
- Puis, sur le plan, la longueur correspondante est \(\dfrac{100x}{50}\) cm.
Le graphique de la relation sera donc une droite passant par l’origine (car si \(x=0\), alors la longueur sur le plan est également \(0\)) et de pente \(\dfrac{100}{50}=2\).
Sur le graphe, on peut donc placer les points suivants par exemple
:
- Pour \(x=1\) m, la longueur sur le
plan est \(2\) cm.
- Pour \(x=3\) m, la longueur sur le
plan est \(6\) cm.
- Pour \(x=5\) m, la longueur sur le
plan est \(10\) cm.
Le graphique est donc la droite d’équation :
\[
y = 2x
\]
avec \(x\) en mètres et \(y\) en centimètres.
Soit \(g\) l’application qui associe à une longueur réelle \(x\) (en mètres) la longueur correspondante sur le plan (en centimètres).
D’après le raisonnement précédent,
\[
g(x) = \frac{100x}{50} = 2x.
\]
Ainsi, l’expression algébrique de \(g\) est :
\[
\boxed{g(x) = 2x.}
\]
Nous utilisons l’expression \(g(x) = 2x\).
Pour \(x = 2,5\) m : \[ g(2,5) = 2 \times 2,5 = 5 \quad \text{cm}. \] Interprétation : Dans la réalité, une longueur de \(2,5\) mètres est représentée par \(5\) centimètres sur le plan.
Pour \(x = 3,2\) m : \[ g(3,2) = 2 \times 3,2 = 6,4 \quad \text{cm}. \] Interprétation : Dans la réalité, une longueur de \(3,2\) mètres est représentée par \(6,4\) centimètres sur le plan.
Pour \(x = 15\) m : \[ g(15) = 2 \times 15 = 30 \quad \text{cm}. \] Interprétation : Dans la réalité, une longueur de \(15\) mètres est représentée par \(30\) centimètres sur le plan.
Le graphique représentant la relation est une droite passant par l’origine avec une pente de 2, représentée par l’équation \(y = 2x\) (avec \(x\) en m et \(y\) en cm).
L’expression de l’application \(g\) est : \[ g(x) = 2x. \]
Les calculs donnent :
Ce schéma permet à Françoise de convertir n’importe quelle longueur réelle en sa représentation sur le plan à l’échelle 1:50.