Exercice 46
Exercice
Pour une assurance-vie, la prime annuelle est égale au cinquantième
du capital assuré.
- Donner l’expression algébrique de l’application \(p\) qui, pour un capital assuré \(C\), associe la prime annuelle.
- Tracer le graphique de cette application pour des valeurs de capital
comprises entre 0 et 100000 francs.
- À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes :
- Quelle est la prime à payer pour un capital assuré de 50000 francs ?
et pour 35000 francs ?
- Quel est le capital assuré lorsque la prime annuelle est de 1150
francs ? et de 500 francs ?
Réponse
- L’expression de la prime est p(C) = C/50.
- Le graphique de cette fonction affine passe par (0,0), (50000,1000)
et (100000,2000).
- Ainsi, pour un capital de 50000 francs la prime est 1000 francs, et
pour 35000 francs, elle est 700 francs. Inversement, une prime de 1150
francs correspond à un capital de 57500 francs, et une prime de 500
francs à un capital de 25000 francs.
Corrigé détaillé
Voici la correction détaillée de l’exercice.
1. Expression algébrique
de l’application
On nous dit que la prime annuelle est égale au cinquantième du
capital assuré. Cela signifie que, pour un capital assuré \(C\), la prime annuelle \(p(C)\) se calcule en divisant \(C\) par 50.
On peut donc écrire : \[
p(C) = \frac{C}{50}
\]
2. Tracé du graphique de
l’application
L’application \(p\) est une fonction
affine passant par l’origine (car \(p(0) =
\frac{0}{50} = 0\)) et de coefficient directeur \(\frac{1}{50}\).
Pour tracer le graphique pour des valeurs de capital comprises entre
0 et 100000 francs, on peut suivre les étapes suivantes :
- Axe des abscisses (horizontal) : représente le
capital assuré \(C\). On prendra
l’intervalle de 0 à 100000.
- Axe des ordonnées (vertical) : représente la prime
annuelle \(p(C)\). Pour \(C = 100000\), la prime est : \[
p(100000) = \frac{100000}{50} = 2000 \text{ francs}.
\]
- Points caractéristiques à placer :
- Point d’origine : \((0 ; 0)\)
- Pour \(C=50000\) : \[
p(50000) = \frac{50000}{50} = 1000,
\] d’où le point \((50000 ;
1000)\).
- Pour \(C=100000\) : \[
p(100000) = 2000,
\] d’où le point \((100000 ;
2000)\).
Le graphique est donc une droite reliant ces points et passant par
l’origine.
Remarque pratique : Sur un papier millimétré, vous
pouvez placer l’axe horizontal gradué de 0 à 100000 et l’axe vertical de
0 à 2000. Tracez ensuite la droite passant par \((0,0)\) et \((100000,2000)\).
3.
Utilisation du graphique pour déterminer les valeurs
a)
Prime pour un capital assuré de 50000 francs et de 35000 francs
Pour trouver la prime \(p(C)\) pour
un capital donné \(C\), il suffit
d’utiliser la formule : \[
p(C) = \frac{C}{50}.
\]
- Pour \(C = 50000\) francs
: \[
p(50000) = \frac{50000}{50} = 1000 \text{ francs}.
\]
- Pour \(C = 35000\) francs
: \[
p(35000) = \frac{35000}{50} = 700 \text{ francs}.
\]
Ces valeurs peuvent être lues sur le graphique en se trouvant sur
l’axe des abscisses à \(50000\) et
\(35000\), puis en montant jusqu’à la
droite pour lire les correspondantes sur l’axe des ordonnées.
b)
Capital assuré pour une prime annuelle de 1150 francs et de 500
francs
Pour trouver le capital assuré \(C\)
correspondant à une prime donnée, il faut résoudre l’équation : \[
\frac{C}{50} = p.
\]
On fait ensuite le calcul suivant en multipliant par 50.
- Pour une prime de \(p =
1150\) francs : \[
\frac{C}{50} = 1150 \quad \Rightarrow \quad C = 1150 \times 50 = 57500
\text{ francs}.
\]
- Pour une prime de \(p =
500\) francs : \[
\frac{C}{50} = 500 \quad \Rightarrow \quad C = 500 \times 50 = 25000
\text{ francs}.
\]
Sur le graphique, pour trouver ces valeurs, on peut procéder de
manière inverse : placer la valeur de la prime sur l’axe vertical et
tracer une ligne horizontale jusqu’à ce qu’elle rencontre la droite,
puis retracer une ligne verticale jusqu’à l’axe horizontal pour lire le
capital correspondant.
Récapitulatif des réponses
Expression algébrique : \[
p(C) = \frac{C}{50}
\]
Graphique :
La droite passe par \((0,0)\) et \((100000,2000)\).
(On place aussi le point \((50000,1000)\) qui est utile pour la
vérification.)
Valeurs obtenues :
- Pour un capital de 50000 francs, la prime est de 1000
francs.
- Pour un capital de 35000 francs, la prime est de 700
francs.
- Pour une prime de 1150 francs, le capital assuré est de
57500 francs.
- Pour une prime de 500 francs, le capital assuré est de 25000
francs.
Cette explication pas à pas vous permet de comprendre comment
utiliser la relation entre capital assuré et prime annuelle et comment
lire et utiliser le graphique pour répondre aux questions posées.