Exercice 45

Exercice

Lors d’une liquidation de stock, un commerce accorde un cinquième de rabais sur tous les articles.

1. Donner l’expression algébrique de l’application \(r\) qui, pour un prix initial, calcule le montant du rabais.
2. Pour faciliter son travail, le commerçant réalise un graphique représentant le prix à payer en fonction du prix initial. Réaliser ce graphique pour un prix initial allant de 0 à 150 fr.
3. Donner l’expression algébrique de l’application qui, à partir du prix initial, détermine le prix après rabais.
4. Calculer le prix payé pour des articles dont les prix initiaux sont respectivement 40 fr, 105 fr et 65 fr.
5. Déterminer le prix initial des articles dont le prix payé est respectivement 30 fr, 64 fr et 100 fr.

Réponse

Réponse courte :

• Le rabais est r(x) = x/5, donc le prix payé est f(x) = x − x/5 = (4x)/5.
• La droite f(x) = (4x)/5 passe par (0, 0) et (150, 120).
• Exemples :
 – x = 40 fr → f(40) = 32 fr
 – x = 105 fr → f(105) = 84 fr
 – x = 65 fr → f(65) = 52 fr
• Réciproquement, si le prix payé est p, alors x = (5/4)p.
 – p = 30 fr → x = 37,5 fr
 – p = 64 fr → x = 80 fr
 – p = 100 fr → x = 125 fr.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée en plusieurs étapes :

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Partie 1. Expression algébrique de l’application \(r\)

Énoncé :
On accorde un cinquième de rabais. Cela signifie que pour un prix initial \(x\), le rabais correspond à \(\frac{1}{5}\) de \(x\).

Calcul :
\[ r(x) = \frac{x}{5} \]

Le rabais accordé est donc donné par \(r(x)=\frac{x}{5}\).

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Partie 2. Réalisation du graphique du prix à payer en fonction du prix initial (pour \(x\) entre 0 et 150)

Analyse :
Le commerce souhaite connaître le prix à payer après rabais en fonction du prix initial. D’après l’énoncé, le prix après rabais se calcule en soustrayant le rabais au prix initial.
On introduit donc la fonction \(f(x)\) définie par :

\[ f(x) = x - r(x) = x - \frac{x}{5} \]

Simplification :
\[ f(x) = x - \frac{x}{5} = \frac{5x}{5} - \frac{x}{5} = \frac{4x}{5} \]

Graphique :

• L’axe horizontal représente le prix initial \(x\) (allant de 0 à 150).
• L’axe vertical représente le prix après rabais \(f(x)\).
• Pour \(x = 0\) :
  \[ f(0) = \frac{4\times 0}{5} = 0\, \text{fr} \]
• Pour \(x = 150\) :
  \[ f(150) = \frac{4\times 150}{5} = \frac{600}{5} = 120\, \text{fr} \]

Instructions pour réaliser le graphique :

1. Dessinez deux axes perpendiculaires : l’axe des abscisses (horizontal) pour \(x\), et l’axe des ordonnées (vertical) pour \(f(x)\).
2. Marquez les graduations pour \(x\) de 0 à 150.
3. Marquez notamment les points \((0,0)\) et \((150,120)\).
4. Reliez ces deux points par une droite qui passera par l’origine. La droite représente la fonction linéaire \(f(x) = \frac{4x}{5}\).

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Partie 3. Expression algébrique de l’application qui détermine le prix après rabais

Calcul :
Le prix après rabais est obtenu en enlevant le cinquième de rabais au prix initial :

\[ f(x) = x - \frac{x}{5} = \frac{4x}{5} \]

L’application qui, à partir du prix initial \(x\), détermine le prix payé est donc :

\[ f(x) = \frac{4x}{5} \]

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Partie 4. Calcul du prix payé pour certains prix initiaux

Pour chaque article, nous appliquons la fonction \(f(x) = \frac{4x}{5}\).

1. Pour un prix initial de 40 fr :
   \[ f(40) = \frac{4 \times 40}{5} = \frac{160}{5} = 32\, \text{fr} \]

2. Pour un prix initial de 105 fr :
   \[ f(105) = \frac{4 \times 105}{5} = \frac{420}{5} = 84\, \text{fr} \]

3. Pour un prix initial de 65 fr :
   \[ f(65) = \frac{4 \times 65}{5} = \frac{260}{5} = 52\, \text{fr} \]

Ainsi, les prix payés sont respectivement 32 fr, 84 fr et 52 fr.

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Partie 5. Détermination du prix initial en fonction du prix payé

On connaît : \[ f(x) = \frac{4x}{5} \] et on souhaite retrouver \(x\) quand on connaît \(f(x)\) (appelons-le \(p\) pour le prix payé).

Inversion de la fonction :

\[ p = \frac{4x}{5} \] Pour trouver \(x\), on résout :

\[ x = \frac{5}{4} \, p \]

Application numérique :

1. Pour un prix payé de 30 fr :
   \[ x = \frac{5}{4} \times 30 = \frac{150}{4} = 37,5\, \text{fr} \]

2. Pour un prix payé de 64 fr :
   \[ x = \frac{5}{4} \times 64 = \frac{320}{4} = 80\, \text{fr} \]

3. Pour un prix payé de 100 fr :
   \[ x = \frac{5}{4} \times 100 = \frac{500}{4} = 125\, \text{fr} \]

Ainsi, les prix initiaux correspondants sont 37,5 fr, 80 fr et 125 fr.

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Récapitulatif

1. Rabais accordé :
   \[ r(x) = \frac{x}{5} \]

2. Graphique du prix payé (pour \(x\) de 0 à 150) :
   La fonction associée est \(f(x) = \frac{4x}{5}\) qui trace une droite passant par \((0,0)\) et \((150,120)\).

3. Fonction prix après rabais :
   \[ f(x) = \frac{4x}{5} \]

4. Calcul du prix payé :

   • Pour 40 fr : \(f(40) = 32\, \text{fr}\)
     
   • Pour 105 fr : \(f(105) = 84\, \text{fr}\)
     
   • Pour 65 fr : \(f(65) = 52\, \text{fr}\)

5. Calcul du prix initial d’après le prix payé :

   • Pour 30 fr : \(x = 37,5\, \text{fr}\)
     
   • Pour 64 fr : \(x = 80\, \text{fr}\)
     
   • Pour 100 fr : \(x = 125\, \text{fr}\)

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Cette correction détaillée explique étape par étape le raisonnement et les calculs pour résoudre l’exercice.