Exercice 42

Soit les fonctions \(i\), \(j\) et \(k\) définies sur \(\mathbb{R}\) par \[ \begin{aligned} i(x) &= \lvert -x - 2 \rvert, \\ j(x) &= -\lvert x - 2 \rvert, \\ k(x) &= \lvert x - 2 \rvert. \end{aligned} \]

Choisissez cinq valeurs pour \(x\) et calculez les images \(i(x)\), \(j(x)\) et \(k(x)\) correspondantes. Présentez vos résultats sous forme de tableau.
Représentez graphiquement les fonctions \(i\), \(j\) et \(k\) dans un même repère, en utilisant respectivement la couleur rouge pour \(i\), la couleur bleue pour \(j\) et la couleur verte pour \(k\).

Réponse

Réponse courte :

Pour x = –3, 0, 2, 4, 6, on trouve :

• i(x) = |–x–2| = |x+2| → 1, 2, 4, 6, 8
• j(x) = –|x–2| → –5, –2, 0, –2, –4
• k(x) = |x–2| → 5, 2, 0, 2, 4

Sur le graphique, on trace : – i(x) (en rouge) : courbe en « V » avec sommet (–2, 0)
– j(x) (en bleu) : courbe en « V » inversée avec sommet (2, 0)
– k(x) (en vert) : courbe en « V » avec sommet (2, 0)

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée en plusieurs étapes pour traiter l’exercice proposé.

1. Calcul des images et présentation dans un tableau

Nous avons trois fonctions définies par :

\[ \begin{aligned} i(x) &= \lvert -x - 2 \rvert, \\ j(x) &= -\lvert x - 2 \rvert, \\ k(x) &= \lvert x - 2 \rvert. \end{aligned} \]

Choix des valeurs de \(x\)

Nous choisissons par exemple les valeurs suivantes :
\[ x = -3,\quad x = 0,\quad x = 2,\quad x = 4,\quad x = 6. \]

Calcul des images pour chaque fonction

Fonction \(i(x) = \lvert -x - 2 \rvert\)

Pour \(x=-3\) :

\[ i(-3) = \lvert -(-3) - 2 \rvert = \lvert 3 - 2 \rvert = \lvert 1 \rvert = 1. \]

Pour \(x=0\) :

\[ i(0) = \lvert -0 - 2 \rvert = \lvert -2 \rvert = 2. \]

Pour \(x=2\) :

\[ i(2) = \lvert -2 - 2 \rvert = \lvert -4 \rvert = 4. \]

Pour \(x=4\) :

\[ i(4) = \lvert -4 - 2 \rvert = \lvert -6 \rvert = 6. \]

Pour \(x=6\) :

\[ i(6) = \lvert -6 - 2 \rvert = \lvert -8 \rvert = 8. \]

Fonction \(j(x) = -\lvert x - 2 \rvert\)

Pour \(x=-3\) :

\[ j(-3) = -\lvert -3 - 2 \rvert = -\lvert -5 \rvert = -5. \]

Pour \(x=0\) :

\[ j(0) = -\lvert 0 - 2 \rvert = -\lvert -2 \rvert = -2. \]

Pour \(x=2\) :

\[ j(2) = -\lvert 2 - 2 \rvert = -\lvert 0 \rvert = 0. \]

Pour \(x=4\) :

\[ j(4) = -\lvert 4 - 2 \rvert = -\lvert 2 \rvert = -2. \]

Pour \(x=6\) :

\[ j(6) = -\lvert 6 - 2 \rvert = -\lvert 4 \rvert = -4. \]

Fonction \(k(x) = \lvert x - 2 \rvert\)

Pour \(x=-3\) :

\[ k(-3) = \lvert -3 - 2 \rvert = \lvert -5 \rvert = 5. \]

Pour \(x=0\) :

\[ k(0) = \lvert 0 - 2 \rvert = \lvert -2 \rvert = 2. \]

Pour \(x=2\) :

\[ k(2) = \lvert 2 - 2 \rvert = \lvert 0 \rvert = 0. \]

Pour \(x=4\) :

\[ k(4) = \lvert 4 - 2 \rvert = \lvert 2 \rvert = 2. \]

Pour \(x=6\) :

\[ k(6) = \lvert 6 - 2 \rvert = \lvert 4 \rvert = 4. \]

Tableau récapitulatif

Nous présentons maintenant ces résultats dans un tableau :

\(x\)	\(i(x)=\lvert -x-2\rvert\)	\(j(x)=-\lvert x-2\rvert\)	\(k(x)=\lvert x-2\rvert\)
-3	1	-5	5
0	2	-2	2
2	4	0	0
4	6	-2	2
6	8	-4	4

2. Représentation graphique dans un même repère

A. Étude des fonctions

Fonction \(i(x) = \lvert -x-2 \rvert\)
On remarque que
\[ i(x) = \lvert -x-2\rvert = \lvert x+2\rvert. \]
La fonction \(i\) est donc une fonction valeur absolue classique, avec son expression écrite sous forme \(\lvert x+2\rvert\).

Point caractéristique : le sommet se situe en \((-2, 0)\).
Dessin : une courbe en « V » ouverte vers le haut.

Fonction \(j(x) = -\lvert x-2 \rvert\)
Ici, on a la valeur absolue de \(x-2\) puis une multiplication par \(-1\).

Point caractéristique : le sommet est en \((2, 0)\).
Dessin : la courbe en « V » ouverte vers le bas (miroir de \(\lvert x-2\rvert\) par rapport à l’axe horizontal).

Fonction \(k(x) = \lvert x-2 \rvert\)
C’est la fonction valeur absolue habituelle avec :

Sommet : \((2, 0)\).
Dessin : une courbe en « V » ouverte vers le haut.

B. Consignes de tracé

Utilisez un repère cartésien avec l’axe horizontal (axe des abscisses) et l’axe vertical (axe des ordonnées).
Tracez les trois courbes sur le même graphique :
- La fonction \(i\) en rouge.
- La fonction \(j\) en bleu.
- La fonction \(k\) en vert.

C. Conseils pour le tracé

Pour \(i(x)=\lvert x+2\rvert\) (rouge) :
- Marquez le sommet à \((-2, 0)\).
- Pour \(x > -2\), la droite a une pente de \(+1\), donc la courbe passe par des points comme \((-1, 1)\), \((0, 2)\), etc.
- Pour \(x < -2\), la droite a une pente de \(-1\), passant par par exemple \((-3, 1)\), \((-4, 2)\), etc.
Pour \(j(x)=-\lvert x-2\rvert\) (bleu) :
- Marquez le sommet à \((2, 0)\).
- Pour \(x > 2\), la droite descend avec une pente de \(-1\). Par exemple, le point \((4, -2)\) est sur la courbe.
- Pour \(x < 2\), la droite descend avec une pente de \(+1\) (puisque la valeur absolue est toujours positive, et l’effet du signe négatif inverse la courbe). Par exemple, le point \((0, -2)\) est sur la courbe.
Pour \(k(x)=\lvert x-2\rvert\) (vert) :
- Marquez le sommet à \((2, 0)\).
- Pour \(x > 2\), la droite monte avec une pente de \(+1\). Par exemple, le point \((4, 2)\) appartient à la courbe.
- Pour \(x < 2\), la droite descend avec une pente de \(-1\). Par exemple, le point \((0, 2)\) se trouve sur la courbe.

D. Réalisation

Sur le repère : - Placer les sommets \((-2, 0)\) pour \(i(x)\) et \((2, 0)\) pour \(j(x)\) et \(k(x)\). - Tracer les segments de droite correspondant aux deux branches de chaque fonction en respectant leur pente et leur couleur respective.

Vous obtiendrez ainsi un graphique clair montrant : - En rouge : une forme en « V » centrée sur \((-2, 0)\) et dirigée vers le haut. - En bleu : une forme en « V » inversée (ouverte vers le bas) centrée sur \((2, 0)\). - En vert : une forme en « V » centrée sur \((2, 0)\) et dirigée vers le haut.

Cette explication étape par étape permet de comprendre comment calculer les images des fonctions pour des valeurs choisies et comment représenter graphiquement ces fonctions dans un même repère.