Exercice 41

Considérons une application définie sur ℝ dont le graphe est une droite passant par les points \(\langle 0, 0 \rangle\) et \(\langle 3, 2 \rangle\).

Tracez le graphe de cette droite.
Répondez aux questions suivantes :
1. Quelle est l’image de \(-3\), de \(1,5\), et de \(-4,5\) ?
2. Quel nombre a pour image \(-1\) ?
3. Comment évolue l’image lorsque l’entrée augmente de 1 ?
4. Déterminez l’expression algébrique de l’application.

Réponse

La droite passe par (0,0) et (3,2) et s’exprime par f(x) = (2/3)x. Ainsi, f(-3) = -2, f(1,5) = 1, f(-4,5) = -3; l’image -1 correspond à x = -3/2; et pour chaque augmentation de 1 de x, f(x) augmente de 2/3.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :

Énoncé

On considère une application réelle dont le graphe est une droite passant par les points \(\langle 0, 0 \rangle\) et \(\langle 3, 2 \rangle\).

Tracez le graphe de cette droite.
Répondez aux questions suivantes :
    a) Quelle est l’image de \(-3\), de \(1,5\) et de \(-4,5\) ?
    b) Quel nombre a pour image \(-1\) ?
    c) Comment évolue l’image lorsque l’entrée augmente de 1 ?
    d) Déterminez l’expression algébrique de l’application.

Partie 1 : Tracé du graphe

Identifier les points importants :

La droite passe par :
- Le point \((0, 0)\) : c’est l’origine.
- Le point \((3, 2)\).
Tracer la droite :
- Placez l’origine et le point \((3, 2)\) sur un repère orthonormé.
- Reliez ces deux points par une ligne droite.
- Pour vérification, vous pouvez trouver d’autres points en utilisant la pente (nous verrons cela dans la partie suivante).

Partie 2 : Réponses aux questions

Étape préliminaire : Trouver l’expression de l’application

On sait que le graphe d’une droite se représente par l’équation : \[ y = mx + b \] où \(m\) est la pente (ou coefficient directeur) et \(b\) l’ordonnée à l’origine.

1. Déterminer la pente \(m\) :

On utilise les deux points \((x_1, y_1) = (0, 0)\) et \((x_2, y_2) = (3, 2)\). \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{3 - 0} = \frac{2}{3} \]

2. Déterminer l’ordonnée à l’origine \(b\) :

Le point \((0, 0)\) nous dit directement que \(b = 0\).

L’expression de la fonction est donc : \[ f(x) = \frac{2}{3}x \]

Question 2a : Calcul de l’image de certains nombres

On utilise l’expression \(f(x) = \frac{2}{3}x\).

a1. Pour \(x = -3\) :

\[ f(-3) = \frac{2}{3} \times (-3) = -2 \]

a2. Pour \(x = 1,5\) :

\[ f(1,5) = \frac{2}{3} \times 1,5 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1 \]

a3. Pour \(x = -4,5\) :

\[ f(-4,5) = \frac{2}{3} \times (-4,5) = \frac{2}{3} \times \left(-\frac{9}{2}\right) = -3 \]

Ainsi, les images sont : - L’image de \(-3\) est \(-2\). - L’image de \(1,5\) est \(1\). - L’image de \(-4,5\) est \(-3\).

Question 2b : Quel nombre a pour image \(-1\) ?

Nous cherchons \(x\) tel que : \[ f(x) = \frac{2}{3}x = -1 \]

Pour trouver \(x\) : \[ x = -1 \times \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \]

Donc, \(-\frac{3}{2}\) (ou \(-1,5\)) est le nombre dont l’image est \(-1\).

Question 2c : Comment évolue l’image lorsque l’entrée augmente de 1 ?

L’expression de la fonction est \(f(x) = \frac{2}{3}x\).

Si l’on augmente \(x\) de 1 (passant de \(x\) à \(x+1\)), alors l’image devient : \[ f(x+1) = \frac{2}{3}(x+1) = \frac{2}{3}x + \frac{2}{3} \]

La nouvelle image est supérieure à l’ancienne image \(f(x)\) d’un montant constant de \(\frac{2}{3}\).

Ainsi, lorsque l’entrée augmente de 1, l’image augmente de \(\frac{2}{3}\).

Question 2d : Expression algébrique de l’application

Nous avons déjà déterminé l’expression dans la partie préliminaire.

L’expression algébrique de l’application est : \[ f(x) = \frac{2}{3}x \]

Résumé des réponses

Graphique : La droite passant par \((0, 0)\) et \((3, 2)\).
Réponses aux questions :
- 1. \(f(-3) = -2\), \(f(1,5) = 1\), \(f(-4,5) = -3\).
- 1. Le nombre qui a pour image \(-1\) est \(-\frac{3}{2}\).
- 1. Lorsque l’entrée augmente de 1, l’image augmente de \(\frac{2}{3}\).
- 1. L’expression de la fonction est \(f(x) = \frac{2}{3}x\).

Cette correction détaille la démarche pas à pas pour résoudre chaque question.