Exercice 40

Exercice

On considère une fonction dont le graphique est une droite passant par les points \(\langle -2 ; 1 \rangle\) et \(\langle 2 ; -3 \rangle\).

  1. Reproduisez le graphique de cette fonction.

  2. Dans votre cahier, répondez aux questions suivantes :

  1. Quelle est l’image de \(0\), de \(-3\) et de \(5\) par cette fonction ?
  2. Quel nombre a pour image \(-0,5\) ?
  3. Comment varie l’image lorsque le nombre de départ augmente de \(1\) ?
  4. Donnez l’expression algébrique de cette fonction.

Réponse

Voici la réponse courte :

La droite passant par (–2, 1) et (2, –3) a pour équation f(x) = –x – 1. Ainsi, f(0) = –1, f(–3) = 2, f(5) = –6 ; pour f(x) = –0,5, x = –0,5. Enfin, lorsque x augmente de 1, f(x) diminue de 1.

Corrigé détaillé

Voici la correction complète de l’exercice.


1) Reproduisez le graphique de la fonction

On vous donne deux points par lesquels passe la droite :
\[ (-2,\ 1) \quad \text{et} \quad (2,\ -3) \]

Pour tracer le graphique dans votre cahier, procédez ainsi :

  1. Tracez un repère orthonormé (axes \(x\) et \(y\)).
  2. Repérez les points \((-2,1)\) et \((2,-3)\) sur votre repère.
  3. Tracez la droite passant exactement par ces deux points. Cette droite représente la fonction.

2) Réponses aux questions

a) Trouver l’image de \(0\), de \(-3\) et de \(5\) par cette fonction

Avant de répondre, nous allons déterminer l’expression algébrique de la fonction.

Étape 1 : Calcul de la pente

On note la pente \(m\) d’une droite passant par deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) à l’aide de la formule : \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Pour nos points \((-2,1)\) et \((2,-3)\), nous avons : \[ m = \frac{-3 - 1}{2 - (-2)} = \frac{-4}{4} = -1 \]

Étape 2 : Détermination de l’ordonnée à l’origine

La forme générale d’une droite est : \[ f(x) = mx + b \] Nous connaissons \(m = -1\). Pour trouver \(b\), on utilise l’un des points, par exemple \((-2,1)\) : \[ 1 = -1 \times (-2) + b \quad \Longrightarrow \quad 1 = 2 + b \] D’où : \[ b = 1 - 2 = -1 \]

Ainsi, l’expression algébrique de notre fonction est : \[ f(x) = -x - 1 \]

Calcul des images

b) Quel nombre a pour image \(-0,5\) ?

Nous cherchons \(x\) tel que : \[ f(x) = -0,5 \] En remplaçant par l’expression de la fonction, nous obtenons : \[ -x - 1 = -0,5 \] Pour résoudre cette équation :

  1. Ajoutons \(1\) des deux côtés : \[ -x = -0,5 + 1 = 0,5 \]
  2. Multiplions ensuite par \(-1\) : \[ x = -0,5 \]

Le nombre dont l’image est \(-0,5\) est donc \(-0,5\).


c) Comment varie l’image lorsque le nombre de départ augmente de \(1\) ?

L’évolution de l’image est directement liée à la pente de la droite. La pente \(m = -1\) signifie que pour chaque augmentation de \(1\) du nombre de départ (\(x\)), l’image (\(f(x)\)) diminue de \(1\).
En d’autres termes, lorsque \(x\) augmente de \(1\), l’image diminue de \(1\).


d) Donnez l’expression algébrique de cette fonction

Nous avons déjà déterminé l’expression en calculant la pente et l’ordonnée à l’origine.
La fonction est : \[ f(x) = -x - 1 \]


Récapitulatif des réponses

  1. Graphique : Tracez la droite passant par \((-2,1)\) et \((2,-3)\).
  2. Calculs :
    1. \(f(0) = -1\), \(f(-3) = 2\), \(f(5) = -6\)
    2. Pour \(f(x) = -0,5\), on a \(x = -0,5\)
    3. Lorsque \(x\) augmente de \(1\), \(f(x)\) diminue de \(1\)
    4. L’expression de la fonction est \(f(x) = -x - 1\)

Cette méthode vous permet de bien comprendre comment déterminer l’équation d’une droite à partir de deux points et comment l’utiliser pour répondre aux questions posées.

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