Exercice
On considère une fonction dont le graphique est une droite passant par les points \(\langle -2 ; 1 \rangle\) et \(\langle 2 ; -3 \rangle\).
Reproduisez le graphique de cette fonction.
Dans votre cahier, répondez aux questions suivantes :
Voici la réponse courte :
La droite passant par (–2, 1) et (2, –3) a pour équation f(x) = –x – 1. Ainsi, f(0) = –1, f(–3) = 2, f(5) = –6 ; pour f(x) = –0,5, x = –0,5. Enfin, lorsque x augmente de 1, f(x) diminue de 1.
Voici la correction complète de l’exercice.
On vous donne deux points par lesquels passe la droite :
\[
(-2,\ 1) \quad \text{et} \quad (2,\ -3)
\]
Pour tracer le graphique dans votre cahier, procédez ainsi :
Avant de répondre, nous allons déterminer l’expression algébrique de la fonction.
On note la pente \(m\) d’une droite passant par deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) à l’aide de la formule : \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \] Pour nos points \((-2,1)\) et \((2,-3)\), nous avons : \[ m = \frac{-3 - 1}{2 - (-2)} = \frac{-4}{4} = -1 \]
La forme générale d’une droite est : \[ f(x) = mx + b \] Nous connaissons \(m = -1\). Pour trouver \(b\), on utilise l’un des points, par exemple \((-2,1)\) : \[ 1 = -1 \times (-2) + b \quad \Longrightarrow \quad 1 = 2 + b \] D’où : \[ b = 1 - 2 = -1 \]
Ainsi, l’expression algébrique de notre fonction est : \[ f(x) = -x - 1 \]
Pour \(x = 0\) : \[ f(0) = -0 - 1 = -1 \] L’image de \(0\) est donc \(-1\).
Pour \(x = -3\) : \[ f(-3) = -(-3) - 1 = 3 - 1 = 2 \] L’image de \(-3\) est donc \(2\).
Pour \(x = 5\) : \[ f(5) = -5 - 1 = -6 \] L’image de \(5\) est donc \(-6\).
Nous cherchons \(x\) tel que : \[ f(x) = -0,5 \] En remplaçant par l’expression de la fonction, nous obtenons : \[ -x - 1 = -0,5 \] Pour résoudre cette équation :
Le nombre dont l’image est \(-0,5\) est donc \(-0,5\).
L’évolution de l’image est directement liée à la pente de la droite.
La pente \(m = -1\) signifie que pour
chaque augmentation de \(1\) du nombre
de départ (\(x\)), l’image (\(f(x)\)) diminue de \(1\).
En d’autres termes, lorsque \(x\)
augmente de \(1\), l’image diminue de
\(1\).
Nous avons déjà déterminé l’expression en calculant la pente et
l’ordonnée à l’origine.
La fonction est : \[
f(x) = -x - 1
\]
Cette méthode vous permet de bien comprendre comment déterminer l’équation d’une droite à partir de deux points et comment l’utiliser pour répondre aux questions posées.