Exercice
Soit une application \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) dont le graphique est une droite passant par les points \(\mathbf{C}(1, -3)\) et \(\mathbf{D}(-1, 1)\).
La droite passant par (1, -3) et (–1, 1) a pour équation g(x) = –2x – 1, donc g(0) = –1.
Voici la correction détaillée de l’exercice :
On considère l’application \(g\)
définie sur \(\mathbb{R}\) dont le
graphique est une droite passant par les points
\[
\mathbf{C}(1, -3) \quad \text{et} \quad \mathbf{D}(-1, 1).
\]
Pour représenter graphiquement \(g\), il faut tracer une droite qui passe par les points \(\mathbf{C}\) et \(\mathbf{D}\).
Étape 1 : Placer les points.
Placez le point \(\mathbf{C}(1, -3)\)
et le point \(\mathbf{D}(-1, 1)\) sur
un repère orthogonal (coordonnées \(x\)
et \(y\)).
Étape 2 : Tracer la droite.
Reliez ces deux points par une droite. Cette droite représente le
graphique de \(g\).
Pour trouver l’image de \(0\) par \(g\), nous allons d’abord déterminer l’expression algébrique de \(g\).
Le coefficient directeur, noté \(m\), est la “pente” de la droite. Il se calcule avec la formule : \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]
Utilisons les coordonnées des points \(\mathbf{C}(1, -3)\) et \(\mathbf{D}(-1, 1)\).
Interprétation du résultat :
Le coefficient directeur \(m = -2\)
signifie que lorsque l’antécédent augmente de 1, l’image diminue de 2.
C’est la variation de l’image pour une augmentation de 1 de \(x\).
L’équation d’une droite peut s’écrire sous la forme : \[ g(x) = mx + b, \] où \(m\) est le coefficient directeur et \(b\) est l’ordonnée à l’origine.
Nous venons de trouver \(m = -2\). Pour déterminer \(b\), utilisons l’un des points fournis, par exemple le point \(\mathbf{C}(1, -3)\).
Substituons dans l’équation : \[ -3 = -2 \times 1 + b. \]
Calculons \(b\) : \[ -3 = -2 + b \quad \Longrightarrow \quad b = -3 + 2 = -1. \]
L’expression de \(g\) est donc : \[ g(x) = -2x - 1. \]
Représentation graphique de \(g\) :
La droite passant par les points \(\mathbf{C}(1, -3)\) et \(\mathbf{D}(-1, 1)\).
Image de \(0\) par \(g\) :
En remplaçant \(x\) par 0 dans
l’expression, on obtient : \[
g(0) = -2 \times 0 - 1 = -1.
\]
Variation de l’image lorsque l’antécédent augmente de 1
:
L’image varie de \(-2\); c’est-à-dire,
pour chaque augmentation de 1 de \(x\),
\(g(x)\) diminue de 2.
Expression algébrique de \(g\) :
\[
g(x) = -2x - 1.
\]
Cette correction permet de comprendre pas à pas la méthode pour déterminer l’équation de la droite à partir de deux points et pour utiliser cette équation afin de répondre aux différentes questions posées dans l’exercice.