Exercice 39

Exercice

Soit une application \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) dont le graphique est une droite passant par les points \(\mathbf{C}(1, -3)\) et \(\mathbf{D}(-1, 1)\).

  1. Représenter graphiquement \(g\).
  2. Calculer l’image de \(0\) par \(g\).
  3. Déterminer de combien varie l’image lorsque l’antécédent augmente de 1.
  4. Donner l’expression algébrique de \(g\).

Réponse

La droite passant par (1, -3) et (–1, 1) a pour équation g(x) = –2x – 1, donc g(0) = –1.

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de l’exercice :


Données du problème

On considère l’application \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) dont le graphique est une droite passant par les points
\[ \mathbf{C}(1, -3) \quad \text{et} \quad \mathbf{D}(-1, 1). \]


1) Représentation graphique de \(g\)

Pour représenter graphiquement \(g\), il faut tracer une droite qui passe par les points \(\mathbf{C}\) et \(\mathbf{D}\).


2) Calcul de l’image de \(0\) par \(g\)

Pour trouver l’image de \(0\) par \(g\), nous allons d’abord déterminer l’expression algébrique de \(g\).


3) Détermination du coefficient directeur (variation de l’image)

Le coefficient directeur, noté \(m\), est la “pente” de la droite. Il se calcule avec la formule : \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \]

Utilisons les coordonnées des points \(\mathbf{C}(1, -3)\) et \(\mathbf{D}(-1, 1)\).

Interprétation du résultat :
Le coefficient directeur \(m = -2\) signifie que lorsque l’antécédent augmente de 1, l’image diminue de 2. C’est la variation de l’image pour une augmentation de 1 de \(x\).


4) Expression algébrique de \(g\)

L’équation d’une droite peut s’écrire sous la forme : \[ g(x) = mx + b, \]\(m\) est le coefficient directeur et \(b\) est l’ordonnée à l’origine.

Nous venons de trouver \(m = -2\). Pour déterminer \(b\), utilisons l’un des points fournis, par exemple le point \(\mathbf{C}(1, -3)\).

Substituons dans l’équation : \[ -3 = -2 \times 1 + b. \]

Calculons \(b\) : \[ -3 = -2 + b \quad \Longrightarrow \quad b = -3 + 2 = -1. \]

L’expression de \(g\) est donc : \[ g(x) = -2x - 1. \]


Récapitulatif des réponses
  1. Représentation graphique de \(g\) :
    La droite passant par les points \(\mathbf{C}(1, -3)\) et \(\mathbf{D}(-1, 1)\).

  2. Image de \(0\) par \(g\) :
    En remplaçant \(x\) par 0 dans l’expression, on obtient : \[ g(0) = -2 \times 0 - 1 = -1. \]

  3. Variation de l’image lorsque l’antécédent augmente de 1 :
    L’image varie de \(-2\); c’est-à-dire, pour chaque augmentation de 1 de \(x\), \(g(x)\) diminue de 2.

  4. Expression algébrique de \(g\) :
    \[ g(x) = -2x - 1. \]


Cette correction permet de comprendre pas à pas la méthode pour déterminer l’équation de la droite à partir de deux points et pour utiliser cette équation afin de répondre aux différentes questions posées dans l’exercice.

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