Exercice 38

Soit une fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) dont le graphique est une droite passant par les points \(\mathbf{A}(-2, 1)\) et \(\mathbf{B}(4, 4)\).

  1. Représenter graphiquement cette fonction sur un repère.

  2. Déterminer l’image de \(0\) par \(f\).

  3. Préciser de combien augmente l’image lorsque la valeur de départ augmente de \(1\).

  4. Donner l’expression algébrique de la fonction \(f\).

Réponse

La droite passant par A(–2, 1) et B(4, 4) a pour équation f(x) = ½·x + 2, donc f(0) = 2 et elle augmente de ½ pour chaque unité de x.

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre cet exercice étape par étape.


1) Représenter graphiquement la fonction

On sait que le graphique de la fonction est une droite qui passe par les points
\[ \mathbf{A}(-2, 1) \quad \text{et} \quad \mathbf{B}(4, 4). \]

Pour la représentation :


2) Déterminer l’image de \(0\) par \(f\)

Pour trouver \(f(0)\), nous devons d’abord connaître l’expression de la fonction.

La fonction est linéaire, de la forme : \[ f(x) = mx + b \]\(m\) représente la pente (le coefficient directeur) et \(b\) l’ordonnée à l’origine.

  1. Calcul de la pente \(m\) :

    La formule de la pente pour deux points \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) est : \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}. \] En utilisant \(\mathbf{A}(-2, 1)\) et \(\mathbf{B}(4, 4)\) : \[ m = \frac{4 - 1}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. \]

  2. Détermination de \(b\) :

    Sachant que le point \(\mathbf{A}(-2, 1)\) est sur la droite, on a : \[ f(-2) = \frac{1}{2} \times (-2) + b = 1. \] Ce qui donne : \[ -1 + b = 1 \quad \Longrightarrow \quad b = 1 + 1 = 2. \]

  3. Expression de la fonction :

    On a donc : \[ f(x) = \frac{1}{2}x + 2. \]

  4. Calcul de \(f(0)\) :

    En remplaçant \(x\) par \(0\) : \[ f(0) = \frac{1}{2} \times 0 + 2 = 2. \] Ainsi, l’image de \(0\) par \(f\) est \(2\).


3) Préciser de combien augmente l’image lorsque la valeur de départ augmente de \(1\)

Le coefficient directeur de la droite, \(m = \frac{1}{2}\), indique que pour chaque augmentation d’une unité de \(x\), l’image \(f(x)\) augmente de : \[ \frac{1}{2}. \] Donc, lorsque la valeur de départ augmente de \(1\), l’image augmente de \(\frac{1}{2}\).


4) Donner l’expression algébrique de la fonction \(f\)

D’après le calcul précédent, nous avons trouvé la pente \(m = \frac{1}{2}\) et l’ordonnée à l’origine \(b = 2\). La fonction est donc : \[ \boxed{f(x) = \frac{1}{2}x + 2.} \]


Récapitulatif
  1. On a représenté graphiquement la droite passant par \(\mathbf{A}(-2,1)\) et \(\mathbf{B}(4,4)\).
  2. L’image de \(0\) est \(f(0) = 2\).
  3. L’image augmente de \(\frac{1}{2}\) lorsque \(x\) augmente de \(1\).
  4. L’expression de la fonction est \(f(x) = \frac{1}{2}x + 2\).

Cette démarche permet de comprendre comment on détermine l’équation d’une droite à partir de deux points et comment on utilise cette équation pour calculer des images de valeurs données.

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