Exercice 37

Soient les fonctions \(f\) et \(m\) définies sur \(\mathbb{R}\) par les expressions suivantes :

\[ \begin{aligned} f(x) &= 3x+2, \\ m(x) &= 3x. \end{aligned} \]

  1. Choisir cinq valeurs pour \(x\) et calculer \(f(x)\) et \(m(x)\) pour ces valeurs.

  2. Représenter graphiquement \(f\) et \(m\) sur le même repère (tracer \(f\) en rouge et \(m\) en bleu).

  3. Répondre aux questions suivantes :

    1. En quoi les expressions algébriques de \(f\) et \(m\) se ressemblent-elles ? Comment se traduit cette ressemblance sur leurs graphiques ?

    2. En quoi les expressions algébriques de \(f\) et \(m\) diffèrent-elles ? Comment cette différence apparaît-elle sur leurs graphiques ? Quelle est la particularité de la fonction \(m\) ? Comment peut-on déduire cette particularité à partir de l’expression algébrique de \(m\) ?

Réponse

f(x) = 3x + 2 et m(x) = 3x ont la même pente (3), donc leurs droites sont parallèles. Pour x = –1, 0, 1, 2, 3, on trouve :

  f(–1) = –1, f(0) = 2, f(1) = 5, f(2) = 8, f(3) = 11
  m(–1) = –3, m(0) = 0, m(1) = 3, m(2) = 6, m(3) = 9

La différence réside dans le terme constant : f est décalée de +2 et m passe par l’origine.

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée de l’exercice.


1. Calcul de \(f(x)\) et \(m(x)\) pour cinq valeurs de \(x\)

Nous choisissons les valeurs suivantes pour \(x\) : \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\) et \(3\).

Pour \(f(x) = 3x + 2\) :
Pour \(m(x) = 3x\) :

Nous pouvons résumer ces résultats dans un tableau :

\(x\) \(f(x)=3x+2\) \(m(x)=3x\)
\(-1\) \(-1\) \(-3\)
\(0\) \(2\) \(0\)
\(1\) \(5\) \(3\)
\(2\) \(8\) \(6\)
\(3\) \(11\) \(9\)

2. Représentation graphique de \(f\) et \(m\)

Tracé des fonctions :
Comment représenter graphiquement :
  1. Dessiner un repère cartésien.
  2. Pour \(f(x)\), placer le point \((0,2)\) (ordonnée à l’origine) et utiliser la pente pour placer d’autres points (par exemple : pour une variation de \(1\) en \(x\), \(y\) augmente de \(3\)).
  3. Pour \(m(x)\), placer le point \((0,0)\) et de la même manière placer d’autres points avec la même pente.
  4. Relier les points pour obtenir chacune des droites.

Ainsi, les deux droites auront la même inclinaison mais seront décalées verticalement.


3. Réponses aux questions (a) et (b)

a) Ressemblance entre \(f\) et \(m\)
b) Différences entre \(f\) et \(m\)

Conclusion

  1. Nous avons calculé \(f(x)\) et \(m(x)\) pour \(x = -1, 0, 1, 2, 3\).
  2. Les représentations graphiques montrent deux droites de même pente (inclinaison identique) mais avec un décalage vertical de \(2\) unités.
  3. Les expressions algébriques révèlent que :
    • Elles se ressemblent par le coefficient \(3\) devant \(x\) (pente identique).
    • Elles diffèrent par leur terme constant (\(+2\) pour \(f(x)\) et \(0\) pour \(m(x)\)), ce qui se traduit par le fait que \(f\) est décalée vers le haut par rapport à \(m\) et que \(m\) passe par l’origine.

Cette correction permet de comprendre comment les expressions algébriques influencent l’allure de leurs graphiques et permet ainsi de résoudre l’exercice.

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