Soient les fonctions \(f\) et \(m\) définies sur \(\mathbb{R}\) par les expressions suivantes :
\[ \begin{aligned} f(x) &= 3x+2, \\ m(x) &= 3x. \end{aligned} \]
Choisir cinq valeurs pour \(x\) et calculer \(f(x)\) et \(m(x)\) pour ces valeurs.
Représenter graphiquement \(f\) et \(m\) sur le même repère (tracer \(f\) en rouge et \(m\) en bleu).
Répondre aux questions suivantes :
En quoi les expressions algébriques de \(f\) et \(m\) se ressemblent-elles ? Comment se traduit cette ressemblance sur leurs graphiques ?
En quoi les expressions algébriques de \(f\) et \(m\) diffèrent-elles ? Comment cette différence apparaît-elle sur leurs graphiques ? Quelle est la particularité de la fonction \(m\) ? Comment peut-on déduire cette particularité à partir de l’expression algébrique de \(m\) ?
f(x) = 3x + 2 et m(x) = 3x ont la même pente (3), donc leurs droites sont parallèles. Pour x = –1, 0, 1, 2, 3, on trouve :
f(–1) = –1, f(0) = 2, f(1) = 5, f(2) = 8, f(3) = 11
m(–1) = –3, m(0) = 0, m(1) = 3, m(2) = 6, m(3) = 9
La différence réside dans le terme constant : f est décalée de +2 et m passe par l’origine.
Voici une correction détaillée de l’exercice.
Nous choisissons les valeurs suivantes pour \(x\) : \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\) et \(3\).
Pour \(x = -1\) :
\[
f(-1) = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1.
\]
Pour \(x = 0\) :
\[
f(0) = 3(0) + 2 = 0 + 2 = 2.
\]
Pour \(x = 1\) :
\[
f(1) = 3(1) + 2 = 3 + 2 = 5.
\]
Pour \(x = 2\) :
\[
f(2) = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8.
\]
Pour \(x = 3\) :
\[
f(3) = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11.
\]
Pour \(x = -1\) :
\[
m(-1) = 3(-1) = -3.
\]
Pour \(x = 0\) :
\[
m(0) = 3(0) = 0.
\]
Pour \(x = 1\) :
\[
m(1) = 3(1) = 3.
\]
Pour \(x = 2\) :
\[
m(2) = 3(2) = 6.
\]
Pour \(x = 3\) :
\[
m(3) = 3(3) = 9.
\]
Nous pouvons résumer ces résultats dans un tableau :
\(x\) | \(f(x)=3x+2\) | \(m(x)=3x\) |
---|---|---|
\(-1\) | \(-1\) | \(-3\) |
\(0\) | \(2\) | \(0\) |
\(1\) | \(5\) | \(3\) |
\(2\) | \(8\) | \(6\) |
\(3\) | \(11\) | \(9\) |
Fonction \(f(x) = 3x +
2\)
Cette fonction est une droite d’inclinaison \(3\) et d’ordonnée à l’origine \(2\).
On la trace en rouge.
Fonction \(m(x) =
3x\)
Cette fonction est également une droite d’inclinaison \(3\) mais d’ordonnée à l’origine \(0\) (elle passe par l’origine).
On la trace en bleu.
Ainsi, les deux droites auront la même inclinaison mais seront décalées verticalement.
Expression algébrique :
Les deux fonctions comportent un terme \(3x\).
\[
f(x) = 3x + 2 \quad \text{et} \quad m(x) = 3x.
\]
Graphiquement :
Puisque le coefficient de \(x\) est
identique (la pente est la même, ici \(3\)), les droites ont la même
inclinaison. Cela signifie qu’elles sont
parallèles car elles montent de la même manière
lorsqu’on se déplace horizontalement.
Expression algébrique :
La différence réside dans le terme constant.
\[
f(x) = 3x + 2 \quad \text{a un terme constant de } +2,
\] contrairement à \(m(x) = 3x\)
qui n’a pas de terme constant.
Graphiquement :
Cette différence se traduit par un décalage vertical.
La droite représentant \(f\) est
déplacée de \(2\) unités vers le haut
par rapport à la droite représentant \(m\).
Particularité de la fonction \(m\) :
\( m(x) = 3x \) est une fonction linéaire qui passe par l’origine (le
point \((0,0)\)).
\( m(0) = 3 = 0 \) montre que l’ordonnée à l’origine est nulle, c’est la
particularité remarquable de \(m\).
Démonstration à partir de l’expression :
Dans l’expression \(m(x) = 3x\),
l’absence d’un terme constant (c’est-à-dire d’un nombre ajouté ou
soustrait) nous indique directement que la fonction passe par l’origine
du repère.
Cette correction permet de comprendre comment les expressions algébriques influencent l’allure de leurs graphiques et permet ainsi de résoudre l’exercice.