Exercice 36

Partie I

On considère les applications suivantes définies dans ℝ : - \(f(x) = |x|\) - \(m(x) = |x+4|\) - \(n(x) = x+|x|\)

  1. Choisir cinq valeurs pour \(x\) et calculer \(f(x)\), \(m(x)\) et \(n(x)\) pour ces valeurs. Présentez vos résultats sous forme de tableau.

  2. Représenter graphiquement les fonctions \(f\), \(m\) et \(n\) dans le même repère en utilisant :

    • Le rouge pour \(f\)
    • Le bleu pour \(m\)
    • Le vert pour \(n\)

Partie II

On considère les applications définies dans ℝ par leurs expressions algébriques :

\[ \begin{aligned} f(x) &= -2x+1,\\[1mm] g(x) &= 2x+1,\\[1mm] h(x) &= -2x-2,\\[1mm] i(x) &= 2x-2. \end{aligned} \]

  1. Choisir cinq valeurs pour \(x\) et calculer \(f(x)\), \(g(x)\), \(h(x)\) et \(i(x)\) pour ces valeurs. Présentez vos résultats sous forme de tableau.

  2. Représenter graphiquement les fonctions \(f\), \(g\), \(h\) et \(i\) dans le même repère en utilisant :

    • Le rouge pour \(f\)
    • Le bleu pour \(g\)
    • Le vert pour \(h\)
    • Le brun pour \(i\)
  3. Dans votre cahier, répondre aux questions suivantes :

    1. En quoi les expressions algébriques de \(f\) et de \(g\) diffèrent-elles ? Comment cette différence se traduit-elle sur leurs graphiques ?

    2. En quoi les expressions algébriques de \(h\) et de \(i\) diffèrent-elles ? Comment cette différence se traduit-elle sur leurs graphiques ?

    3. En quoi les expressions algébriques de \(f\) et de \(h\) se ressemblent-elles ? Comment cette ressemblance se traduit-elle sur leurs graphiques ?

    4. En quoi les expressions algébriques de \(g\) et de \(i\) se ressemblent-elles ? Comment cette ressemblance se traduit-elle sur leurs graphiques ?

Réponse

Partie I – Pour x = –5, –1, 0, 2, 5, on obtient : • f(x) = |x| → 5, 1, 0, 2, 5
• m(x) = |x+4| → 1, 3, 4, 6, 9
• n(x) = x + |x| → 0 (pour x < 0) et 2x (pour x ≥ 0) → 0, 0, 0, 4, 10
La courbe de m est celle de f translatée de 4 unités vers la gauche; n est nulle pour x négatifs puis linéaire de pente 2.

Partie II – Pour x = –2, –1, 0, 1, 2, on a : • f(x) = –2x + 1 → 5, 3, 1, –1, –3
• g(x) = 2x + 1 → –3, –1, 1, 3, 5
• h(x) = –2x – 2 → 2, 0, –2, –4, –6
• i(x) = 2x – 2 → –6, –4, –2, 0, 2
Les fonctions f et g se coupent en (0, 1), f est décroissante et g croissante. De même, h et i se coupent en (0, –2) avec h décroissante et i croissante. Par ailleurs, f et h (aussi g et i) ont la même pente, donc leurs droites sont parallèles (différentes seulement par leur ordonnée à l’origine).

Corrigé détaillé

Voici une correction détaillée en suivant chaque étape de l’exercice.


Partie I

Nous considérons les fonctions définies sur ℝ suivantes :

1. Choix de valeurs et calculs

Choisissons par exemple les valeurs suivantes pour \(x\) : \(-5\), \(-1\), \(0\), \(2\) et \(5\).
Nous allons calculer les images de ces valeurs par chacune des fonctions.

Calcul pour chaque fonction
  1. Pour la fonction \(f(x)=|x|\) :

    • \(f(-5)=|-5|=5\)
    • \(f(-1)=|-1|=1\)
    • \(f(0)=|0|=0\)
    • \(f(2)=|2|=2\)
    • \(f(5)=|5|=5\)
  2. Pour la fonction \(m(x)=|x+4|\) :

    • \(m(-5)=|-5+4|=|-1|=1\)
    • \(m(-1)=|-1+4|=|3|=3\)
    • \(m(0)=|0+4|=|4|=4\)
    • \(m(2)=|2+4|=|6|=6\)
    • \(m(5)=|5+4|=|9|=9\)
  3. Pour la fonction \(n(x)=x+|x|\) :

    L’expression \(x+|x|\) se traite par cas :

    • Si \(x \ge 0\), alors \(|x|=x\) et donc \(n(x)= x + x = 2x\).
    • Si \(x < 0\), alors \(|x| = -x\) et donc \(n(x)= x - x = 0\).

    Ainsi, nous obtenons :

    • Pour \(x=-5\) (car \(-5 < 0\)) : \(n(-5)=0\);
    • Pour \(x=-1\) (car \(-1 < 0\)) : \(n(-1)=0\);
    • Pour \(x=0\) : \(n(0)=0+|0|=0\);
    • Pour \(x=2\) (car \(2 \ge 0\)) : \(n(2)=2+2=4\);
    • Pour \(x=5\) (car \(5 \ge 0\)) : \(n(5)=5+5=10\).
Présentation sous forme de tableau

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & f(x)=|x| & m(x)=|x+4| & n(x)=x+|x| \\ \hline -5 & 5 & 1 & 0 \\ \hline -1 & 1 & 3 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 4 & 0 \\ \hline 2 & 2 & 6 & 4 \\ \hline 5 & 5 & 9 & 10 \\ \hline \end{array} \]

2. Représentation graphique

Pour représenter graphiquement ces fonctions sur le même repère :

Placez chaque point obtenu dans le tableau sur le graphe et reliez-les en tenant compte de la définition (forme en V ou droite).


Partie II

Nous considérons les fonctions dont les expressions algébriques sont :

\[ \begin{aligned} f(x) &= -2x + 1,\\[1mm] g(x) &= 2x + 1,\\[1mm] h(x) &= -2x - 2,\\[1mm] i(x) &= 2x - 2. \end{aligned} \]

1. Choix de valeurs et calculs

Choisissons pour \(x\) les valeurs \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\) et \(2\).

Calcul pour chaque fonction
  1. Pour \(f(x) = -2x + 1\) :
    • \(f(-2)= -2(-2)+1=4+1=5\)
    • \(f(-1)= -2(-1)+1=2+1=3\)
    • \(f(0)= -2(0)+1=0+1=1\)
    • \(f(1)= -2(1)+1=-2+1=-1\)
    • \(f(2)= -2(2)+1=-4+1=-3\)
  2. Pour \(g(x)=2x+1\) :
    • \(g(-2)= 2(-2)+1=-4+1=-3\)
    • \(g(-1)= 2(-1)+1=-2+1=-1\)
    • \(g(0)= 2(0)+1=0+1=1\)
    • \(g(1)= 2(1)+1=2+1=3\)
    • \(g(2)= 2(2)+1=4+1=5\)
  3. Pour \(h(x)=-2x-2\) :
    • \(h(-2)= -2(-2)-2=4-2=2\)
    • \(h(-1)= -2(-1)-2=2-2=0\)
    • \(h(0)= -2(0)-2=0-2=-2\)
    • \(h(1)= -2(1)-2=-2-2=-4\)
    • \(h(2)= -2(2)-2=-4-2=-6\)
  4. Pour \(i(x)=2x-2\) :
    • \(i(-2)= 2(-2)-2=-4-2=-6\)
    • \(i(-1)= 2(-1)-2=-2-2=-4\)
    • \(i(0)= 2(0)-2=0-2=-2\)
    • \(i(1)= 2(1)-2=2-2=0\)
    • \(i(2)= 2(2)-2=4-2=2\)
Présentation sous forme de tableau

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & f(x)=-2x+1 & g(x)=2x+1 & h(x)=-2x-2 & i(x)=2x-2 \\ \hline -2 & 5 & -3 & 2 & -6 \\ \hline -1 & 3 & -1 & 0 & -4 \\ \hline 0 & 1 & 1 & -2 & -2 \\ \hline 1 & -1 & 3 & -4 & 0 \\ \hline 2 & -3 & 5 & -6 & 2 \\ \hline \end{array} \]

2. Représentation graphique

Pour tracer ces fonctions dans le même repère, procédez de la façon suivante :

3. Réponses aux questions

a) Différences entre \(f\) et \(g\)

Les expressions algébriques de \(f\) et \(g\) sont : \[ f(x)=-2x+1 \quad \text{et} \quad g(x)=2x+1. \] Différences algébriques :
La différence principale réside dans le coefficient devant \(x\) : pour \(f\), le coefficient est \(-2\) et pour \(g\), il est \(2\).

Conséquence sur les graphiques :
- La fonction \(f\) est décroissante (la droite descend lorsqu’on va vers la droite) car son coefficient est négatif. - La fonction \(g\) est croissante (la droite monte lorsqu’on va vers la droite) car son coefficient est positif.
On remarque que les deux droites ont le même ordonnée à l’origine (\(y=1\)), elles se coupent donc en ce point.


b) Différences entre \(h\) et \(i\)

Les expressions de \(h\) et \(i\) sont : \[ h(x)=-2x-2 \quad \text{et} \quad i(x)=2x-2. \] Différences algébriques :
Ici encore, la différence est dans le coefficient de \(x\) : \(-2\) pour \(h\) et \(2\) pour \(i\). Les deux fonctions ont la même ordonnée à l’origine : pour \(x=0\), \(h(0)= -2\) et \(i(0)=-2\).

Conséquence sur les graphiques :
- \(h\) est décroissante (elle descend dans le repère),
- \(i\) est croissante (elle monte dans le repère).
Les deux droites se coupent en \((0, -2)\).


c) Similarités entre \(f\) et \(h\)

Les expressions de \(f\) et \(h\) sont : \[ f(x)=-2x+1 \quad \text{et} \quad h(x)=-2x-2. \] Similarités algébriques :
Les deux fonctions ont le même coefficient directeur (\(-2\)). Cela signifie qu’elles ont la même pente.

Conséquence sur les graphiques :
Elles sont parallèles l’une à l’autre car une droite parallèle à une autre a exactement la même pente. La différence d’ordonnée à l’origine (\(1\) pour \(f\) et \(-2\) pour \(h\)) fait que l’une est une translation verticale de l’autre.


d) Similarités entre \(g\) et \(i\)

Les expressions de \(g\) et \(i\) sont : \[ g(x)=2x+1 \quad \text{et} \quad i(x)=2x-2. \] Similarités algébriques :
Les deux fonctions ont le même coefficient directeur (\(2\)), donc elles ont également la même pente.

Conséquence sur les graphiques :
Les droites représentées par \(g\) et \(i\) sont parallèles car elles ont la même pente. La différence se situe au niveau de l’ordonnée à l’origine (\(1\) pour \(g\) et \(-2\) pour \(i\)), ce qui signifie que l’une est obtenue par une translation verticale de l’autre.


Cette correction détaillée présente toutes les étapes nécessaires pour arriver aux calculs, à la construction des tableaux et à l’analyse graphique des fonctions. Vous pouvez maintenant reporter ces résultats et interprétations dans votre cahier.

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